Ancien élève de l'École normale des sciences, | Ancien élève de l'École normale des sciences, Professeur ordinaire à l'Université de Gand. Membre de l'Académie royale de Belgique, etc. Professeur ordinaire à l'Université de Liège, de Belgique, etc. AVEC LA COLLABORATION DE PLUSIEURS PROFESSEURS BELGES ET ÉTRANGERS. AD. HOSTE, ÉDITEUR GAUTHIER-VILLARS & FILS IMPRIMEUR-LIBRAIRE IMPRIMEURS-LIBRAIRES 47, RUE DES CHAMPS, 47 55, QUAI DES AUGUSTINS, 55 GAND, IMPRIMERIE C. ANNOOT-BRA ECKMAN AD. HOSTE, SUCCESSEUR Sci 865,50 Farrar fund. ABRÉVIATIONS. B. B. Bulletins de l'Académie royale de Belgique. C. R. Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris. J. M. E. (ou J. M. S). Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de Crelle, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par CRELLE en 1826, continué successivement par BORCHARDT, KRONECKER et WEIERSTRASS, par KRONECKER et par FUCHS (en allemand surtout). Liouville, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par LIOUVILLE en 1836, continué d'abord par RESAL, puis par JORDAN. (2), III, 327-333 signifie : Deuxième série, tome troisième, pages 327 à 333. SUR LES COURBES DU QUATRIÈME ORDRE QUI ONT TROIS POINTS DOUBLES D'INFLEXION(*), par M. BALITRAND, ancien élève de l'École Polytechnique. I. Si l'on prend le triangle des points doubles A, B, C, pour triangle de référence, l'équation générale de ces courbes est : est autopolaire par rapport au triangle de référence et passe par les deux points (a', B', y'), (a'', (B", y"), pourvu que ceux-ci soient situés sur la courbe (1). (3) Si ces deux points se rapprochent indéfiniment, l'équation (2) devient et la conique qu'elle représente est tangente à la courbe (1) au point (œ', B', y'). (4) On en déduit pour l'équation de la tangente en ce point à la courbe (1) (*) Un premier article du même auteur sur ces courbes a paru dans Mathesis, (2), I, p. 241. (J. N.) L'équation (5), équation tangentielle de la courbe (1), peut encore s'écrire Sous cette forme, elle montre immédiatement que les six tangentes aux points doubles touchent la conique Les coordonnées (a1, B1, y1) du centre de la conique (3) sont données par les formules (*) et, par suite, le lieu du centre est la courbe représentée par l'équation C'est une quartique de troisième classe qui a pour points de rebroussement les sommets du triangle de référence. THÉORÈME. Le lieu des centres des coniques conjugées au triangle ABC et qui touchent la courbe (1) est une quartique ayant pour points de rebroussement les sommets du triangle. L'enveloppe des coniques conjugées au triangle ABC et dont les centres sont sur la courbe (6) est une quartique qui a pour points doubles d'inflexion les sommets du triangle. II. Dans l'équation (1), les coefficients 7, m, n ne peuvent être tous positifs, si la courbe qu'elle représente est réelle. Nous supposerons qu'il (*) L'auteur emploie les coordonnées normales. Plus généralement le lieu du pôle d'une droite fixe par rapport aux coniques conjugées au triangle ABC et qui touchent la courbe (1), est une quartique qui a pour points de rebroussement les sommets du triangle. (J. N.) |