Mit einiger Vorsicht bei den Versuchen wird man alle von der Theorie geforderten Resultate in unzweideutiger Weise erhalten. Nach der Ohmschen Theorie hängt die Stromstärke nicht allein von der Gröfse der elektromotorischen Kraft, sondern auch von der Gröfse des Widerstandes ab, und die soeben betrachteten Beispiele zeigen schon, dafs eine Vergrösserung der elektromotorischen Kraft durch Vermehrung der Elemente bei sonst gleich bleibendem Schliefsungskreise nicht immer eine Verstärkung des Stromes zur Folge hat, weil mit derselben zugleich der Widerstand der in den Elementen enthaltenen Flüssigkeiten, der sogenannte wesentliche Widerstand zunimmt. Haben wir z. B. n Elemente, deren Flüssigkeiten jede den Widerstand W leistet, so wird die Stromstärke im Schliefsungskreise vom Widerstande w bei Anwendung eines Elementes sein Schalten wir die Elemente hinter einander ein, so wird Je nach dem Verhältnisse w zu W kann der Strom merklich stärker sein als J oder nicht. Ist w beträchtlich, so ist der Wert des Zählers in diesem Ausdrucke der nfache, der Nenner nicht, der Strom J, ist also stärker als J und um so stärker, je gröfser w im Verhältnis zu W ist; wenn W nur ein verschwindender Bruchteil von w ist, dann ist die Stromstärke die nfache geworden; ist w aber klein gegen W, so ist der Strom kaum geändert. In dem Falle müfste man die Elemente alle neben einander, die Zinke mit den Zinken, die Kohlen mit den Kohlen verbinden. Da man dann ein Element von nfachem Querschnitte hat, so ist Wie man sieht, ist der Strom jetzt der nfache, wenn w nur ein verschwindend kleiner Teil von Wist. Es ergiebt sich demnach aus dem Ohmschen Gesetze, dafs die Stromstärke abhängt von dem Verhältnis der Widerstände im Schliessungskreise zu dem wesentlichen Widerstande der Elemente. Es fragt sich daher, wie man eine gegebene Zahl von n Elementen bei einem gegebenen Widerstande w kombinieren muss, damit man den stärksten Strom erhält, welcher möglich ist1). Ist die elektromotorische Kraft eines Elementes gleich E, der Widerstand desselben gleich W, so würde, wenn alle Elemente hinter einander eingeschaltet würden, die Stromstärke sein: 1) Poggendorff, Poggend. Ann. Bd. LV. n Würde man nun aber je x Elemente neben einander verbinden, und SO Elemente von x facher Oberfläche erhalten, so wäre die elektromoto I Es ist nicht schwer, den Wert von x zu bestimmen, für welchen J ein Maximum wird; sei derselbe x', und der Wert von J dann Für einen anderen Wert x", der gröfser oder kleiner sein mag als , ist die Stromstärke Da in diesem Ausdrucke der Faktor x' x" das Zeichen ändert, > Wenn x xist, so kann diese Differenz nur dann für jeden Wert von positiv sein, wenn der andere mit und x" behaftete Faktor zugleich sein Vorzeichen ändert; daraus folgt, dafs er für x x" gleich O sein mufs. Wir erhalten also den dem Maximumwerte von J entsprechenden Wert von aus der Gleichung Die Stromstärke J erhält ihren gröfsten Wert J', wenn der wesentliche Widerstand gleich dem des Schliessungsbogens ist. Man hat also, wenn man den möglich stärksten Strom bei einer gegebenen Zahl von Elementen und gegebenem Schliessungskreise erhalten will, die Elemente so zu kombinieren, dafs der wesentliche Widerstand gleich ist dem des Schliessungskreises. Die Zahl der Elemente, welche man zu einem Elemente zusammensetzen mufs, ist dann: also gleich der Quadratwurzel aus dem Verhältnis des wesentlichen Widerstandes, wenn alle Elemente hinter einander eingeschaltet sind, zu dem Widerstande des Schliessungsbogens. Auch dieser Satz kann leicht durch Versuche bestätigt werden, wie es von Poggendorff und anderen geschehen ist. §. 81. Stromverzweigung. Bei unseren bisherigen Untersuchungen haben wir immer angenommen, dafs der Stromkreis einfach sei, das heifst das die Verbindung der beiden Pole durch eine einzige Schliessung gebildet würde, und dann in dieser die Stromstärke bestimmt. Es ist nun noch der Fall zu untersuchen, dafs der Stromkreis zum Teil aus mehreren Zweigen bestehe, und die Stromstärke in dem ungeteilten Stücke des Schliessungsbogens, sowie in den einzelnen Zweigen zu bestimmen. Wir betrachten zunächst, um die Aufgabe zu übersehen, den einfachsten schon von Ohm untersuchten Fall. Es sei Fig. 136 E ein galvanisches Element, dessen elektromotorische Kraft gleich E sei; der Stromkreis abdc, welcher die Pole verbindet, sei zwischen b und d verzweigt, so dafs die Verbindung der Punkte b und d durch n Drähte (in der Fig. 4) hergestellt sei. Der Widerstand des unverzweigten Teiles des Bogens bacd sei gleich W. Die Länge, der specifische Widerstand und Querschnitt der einzelnen Drähte sei 1, 7, 91, la T Q2, · · · ễn Vn In, so dafs die Widerstände derselber sind es soll die Stromstärke J in dem unverzweigten Teile und in den einzelnen Zweigen des Schliessungsbogens bestimmt werden. Um dahin zu gelangen, denken wir uns die Drähte der Zweige sämt lich durch andere ersetzt, deren Länge für alle dieselbe und gleich 1, deren specifischer Leitungswiderstand für alle ebenfalls derselbe und gleich r ist, deren Querschnitte s aber so gewählt sind, dafs die Widerstände der einzusetzenden Drähte gleich sind den Widerständen der Drähte, welche sie ersetzen sollen. Ist demnach s, der Querschnitt des Drahtes, welcher den Draht w, ersetzt, so soll sein, so dafs also die Querschnitte dieser Drähte dem Widerstande, welchen sie dem Strome leisten sollen, umgekehrt proportional sind. Die sämtlichen, die Verbindung von b nach d vermittelnden Drähte werden jetzt dem Strome einen ebensolchen Widerstand leisten, als befände sich zwischen b und d ein Draht, dessen Länge gleich 1, dessen specifischer Leitungswiderstand gleich r, und dessen Querschnitt Q gleich der Summe aller Querschnitte s1 + Sn wäre. Der Widerstand eines solchen Drahtes würde gleich ... sein. ist Der Widerstand, welchen dann der gesamte Schliessungsbogen leistet, die Stromstärke in dem ungeteilten Stücke des Schliessungsbogens demnach Nehmen wir jetzt der Einfachheit wegen n = 4 an, so wird Die Stromstärke in den einzelnen Zweigen erhalten wir jetzt durch Anwendung folgender zwei Sätze: Erstens mufs die Summe der in allen Zweigschliessungen vorhandenen Stromstärken gleich sein der Stromstärke in dem ungeteilten Bogen. Es folgt das aus dem Satze, dafs die Stromstärke in allen Querschnitten eines Leiters dieselbe sein mufs, und daraus, dafs wir alle Zweige durch einen Draht von der Länge und dem Querschnitte Q S1S2 ersetzt denken können. = Zweitens mufs die Stromstärke in jedem Zweige dem Widerstande dieses Zweiges umgekehrt proportional sein. In den die vorhandenen Zweige ersetzenden Drähten gleicher Länge und gleichen specifischen Widerstandes wird sich der Strom nämlich so verteilen, dafs durch jeden ein dem Querschnitte desselben proportionaler Teil geht. Da nun die Querschnitte dieser Drähte den Widerständen in den einzelnen Zweigen umgekehrt proportional sind, und da die Stromstärke in den einzelnen Zweigen genau gleich derjenigen in den sie ersetzenden Drähten sein mufs, so folgt, dafs die Stromstärke in jedem Zweigdrahte dem Widerstande desselben umgekehrt proportional sein mufs. is 4 3 : Wn Wn-1 W (wą wz w1 + w1 w ̧ w1+w] w2 w↓ +w, w2 w3) + w1 w2 wzw↓ 2 3 so dafs also die einzelnen Glieder in dem Ausdrucke für J die Stromstärken der einzelnen Zweige geben und zwar jedes Glied die Stromstärke desjenigen Zweiges, dessen Widerstand im Zähler fehlt. Ohm1) hat durch Versuche die Richtigkeit dieser Formeln dargethan und darin eine neue Bestätigung für die Theorie geliefert. Unter Anwendung derselben Principien lassen sich die Stromstärken bestimmen, wenn die Zweige anders geordnet sind, nicht alle in einem Punkte zusammentreffen, oder in den Zweigen selbst elektromotorische Kräfte vorhanden sind. Verschiedene Probleme dieser Art sind besonders von Poggendorff") und Lenz3) behandelt worden. Alle diese Fälle lassen sich leicht mit Hilfe zweier Sätze von Kirchhoff) ableiten, welcher in denselben das Problem der Stromverzweigung ganz allgemein gelöst hat. Die beiden Sätze sind: 1) Hat man eine Anzahl sich in einem Punkte e kreuzender Ströme а, a1, a2, b, b1, by Fig. 137, so mufs die algebraische Summe aller Stromstärken, die zu dem Punkte hinströmenden mit entgegengesetztem Vorzeichen als die von demselben fortströmenden genommen, gleich O sein. Bezeichnen wir also die Stromstärken mit Ja Ja Ja Jb Jb, ..., so mufs Ja Ja1 + Ja2 + Jb + Jb1 + Jbą O sein. Der Satz folgt unmittelbar daraus, dafs, wenn das nicht der Fall wäre, im Punkte e eine Anhäufung der Elektricität stattfände, somit die Ströme in ihrem Verlaufe gestört würden. ΣΤ = Diesen Satz hatten wir in dem soeben von uns betrachteten Falle unter der Form: 1) Ohm, Die galvanische Kette S. 70. Schweiggers Journal Bd. XLIX. Jahrg. 1827. 2) Poggendorff, Poggend. Ann. Bd. LIV, LV, LXVII. Letztere Mitteilung enthält eine von W. Weber gegebene Lösung des Problems der Stromverzweigung. 3) Lenz, Bulletin phys. math. de l'Acad. de St. Petersbourg. T. III. Doves Repertorium. Bd. VIII. 4) Kirchhoff, Poggend. Ann. Bd. LXIV, LXXII, LXXV. |