bilden, da der Ausdruck unter dem Summenzeichen kein vollständiges Differential ist, das heifst da dieser Ausdruck nicht die Differenz zweier auf einander folgender Werte einer Funktion ist, in welchen die Veränderlichen nur unendlich wenig verschieden gesetzt werden. Soll V unter allen Umständen gleich O sein, so mufs deshalb 21 Die Konstante k der Formel ist somit gleich 1⁄2, d. h. die Wirkung zweier in einer geraden Linie liegenden Elemente ist bei gleichem Abstander halb so grofs, und bei gleichgerichteten Strömen entgegengesetzt der Wirkung zweier paralleler Ströme. Mit diesem Werte wird in unserer Formel 3 a Sind die Elemente einander parallel und die Ströme gleichgerichtet, so ist ɛ = 0, 9 90o, somit Fallen die Elemente in eine gerade Linie und sind die Ströme gleichgerichtet, so ist ɛ = 0, Ꮽ O, dann wird ii dsds Der Versuch hat bewiesen, dafs im letzteren Falle die Elemente sich abstofsen, im ersteren sich anziehen; im letzteren Falle wird also durch die Wirkung w der Abstand r vergröfsert. Man versieht nun gewöhnlich jene Wirkung, durch welche der Abstand der Elemente vergrössert wird, mit dem positiven, jene, welche den Abstand zu verkleinern strebt, mit dem negativen Vorzeichen; deshalb vertauschen wir in unserm Ausdrucke die Vorzeichen und setzen Diese Ausdrücke geben uns das elektrodynamische Grundgesetz, indem sie uns die Wechselwirkung irgend zweier beliebig gerichteter Elemente parallel der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte geben'). Eine von der Ampèreschen abweichende Theorie giebt Grassmann_in Ann. Bd. LXIV. Er verwirft in derselben die Annahme Ampères, dafs lemente parallel der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte anziehend §. 116. Wirkung eines geschlossenen Stromkreises auf ein Element. Wir wollen zunächst den im vorigen Paragraphen abgeleiteten Ausdruck für die Wirkung zweier Elemente benutzen, um die Wirkung eines Stromkreises auf ein Element durch die drei den Koordinatenaxen parallelen Komponenten der Wirkung auszudrücken. Es sei L′ Fig. 216 (Seite 818) der geschlossene Stromkreis. In unserm Ausdruck für die Wirkung zweier Elemente wenn der Winkel ist, den ds mit der Verbindungslinier der beiden Elemente bildet. Diesen Winkel können wir durch die Winkel 1, u, v, welche das Element mit den drei Koordinatenaxen bildet und die drei Winkel, welche die Verbindungslinier mit den drei Axen bildet, ausdrücken. Die Cosinus dieser drei letztern Winkel sind Setzen wir das in den Ausdruck für w ein und multiplizieren mit dem Cosinus des Winkels, den die Verbindungslinier mit der x-Axe bildet, so erhalten wir für die x-Komponente der Wirkung oder abstofsend auf einander wirken. Wir können die Theorie von Grassmann hier nicht darlegen und bemerken nur, dafs sie für geschlossene Ströme zu denselben Resultaten führt, wie die Theorie von Ampère. Ein Unterschied zeigt sich nur in dem Verhalten begrenzter, d. h. nicht in sich selbst zurücklaufender Ströme. Eine experimentelle Prüfung dieses Falles, und somit eine Entscheidung zwischen beiden Theorieen hat noch nicht stattgefunden. Die allgemeinste Be handlung der elektrodynamischen Gleichungen giebt Stefan in seiner umfangreichen sehr interessanten Abhandlung, die wir schon im Beginne dieses Paragraphen erwähnten. Stefan weist darin nach, dafs sowohl die Theorie von Ampère als die von Grassmann durch besondere nicht notwendige Annahmen aus der von ihm entwickelten allgemeinen Theorie sich ergeben, wie z. B. die von Ampère einfach dadurch, dafs er die Seite 810 Anm. 1) erwähnten transversalen Wirkungen gleich Null setzt. Zugleich weist Stefan nach, dafs und weshalb diese Theorieen sämtlich für geschlossene Ströme dieselben Resultate liefern. Wir werden daher im Folgenden, da wir stets nur die Wirkung geschlossener Ströme beobachten, die Ampèresche Theorie beibehalten, an den passenden Stellen dagegen auf die andern Theorieen hinweisen. Hierin können wir, da λ, u, v konstant sind, wie man sich durch Ausführung der Differentiation nach x' beziehungsweise nach y' überzeugt, folgende Umformung vornehmen. Wenden wir die bekannte Formel an, dafs wenn u und v zwei Veränderliche sind In ganz gleicher Weise erhalten wir für das dritte Glied in dem Ausdrucke für Setzen wir die so umgeformte Differentiale in den Ausdruck für 5 ein, nachdem wir im Zähler und Nenner ds' fortgehoben haben, so wird Das erste Glied in der Klammer ist nach Gleichung (a) Die X-Komponente der Wirkung des ganzen Stromes auf das Element ds erhalten wir durch Integration des für § erhaltenen Ausdruckes über den ganzen Strom, somit Unter dem ersten der drei Integralzeichen haben wir ein totales Differential; da bei der Integration über den ganzen Stromkreis die Grenzen zusammenfallen, also an den Grenzen x', r und Wert des ersten Integrals gleich null. denselben Wert haben, so ist der Die Werte der andern Integrale können wir nicht allgemein angeben, setzen wir deshalb mit Ampère In ganz gleicher Weise ergiebt sich, wenn wir noch Wenn wir auch die Werte A, B, C nicht allgemein angeben können, so lassen sich doch sofort aus diesen Ausdrücken einige wichtige Folgerungen über die Richtung der Resultierenden ziehen. Die resultierende Wirkung des Stromes auf das Element ist gegeben durch und die Cosinus der Winkel, welche die Resultierende mit den Koordinatenaxen bildet, durch X Y Z R R R Den Winkel, welchen die Resultierende mit dem Elemente bildet, erhalten wir in der Summe der Produkte Rechnen wir den Zähler aus, so wird derselbe gleich null, der Winkel, den die Resultierende mit dem Element bildet, ist somit ein Rechter, oder die Gleichungen geben den nach dem vorigen Paragraphen von Ampère bewiesenen Satz, dafs in die Richtung des Elementes keine Komponente der Wirkung fällt, dafs somit die Richtung der Resultierenden auf dem Elemente senkrecht steht. Die Richtung und Gröfse der resultierenden Wirkung können wir mit Hilfe einer zweiten von Ampère als Direktrix bezeichneten Linie bestimmen. Denken wir uns die drei Gröfsen A, B, C auf die Koordinatenaxen aufgetragen, so ist die durch die Gleichung ‚D = √ A2 + B2 + C2 gegebene Diagonale des durch die Seiten A, B, C bestimmten Parallelepipeds die Direktrix. Die Cosinus der Winkel, die sie mit den Koordinatenaxen bildet, sind Der Cosinus des Winkels, welchen die Resultierende mit der Direktrix bildet, ist demnach Rechnet man die Summe AX+BY+ CZ aus, so ergiebt sich dieselbe gleich null; es folgt die Resultierende ist auch senkrecht zur Richtung der Direktrix. Legen wir somit durch das Element die Direktrix, so folgt, dafs die Richtung der Resultierenden senkrecht ist zu der durch das Element und die Direktrix gelegten Ebene. Mit Hilfe der Direktrix und des Winkels o, welchen das Element mit der Direktrix bildet, läfst sich die Gröfse der Resultierenden in der kürzesten Form darstellen. Nennen wir die Winkel, welche die Direktrix mit den drei Koordinatenaxen bildet, a, ẞ, 7, so dass Rechnet man den Wert der Resultierenden aus, indem man in der Gleichung cosa + cos ẞ+ cos y = 1, cos2 + cos2 μ + cos2 v = 1 so erhält man durch leichte Umformungen H2 + K2 + L2 = 1 cos2 ∞ Aus der Gröfse und der Lage der Direktrix und der Lage des Eleläfst sich deshalb unmittelbar die Richtung und Gröfse der resul E |