tierenden Wirkung berechnen. Wir werden diese Ausdrücke später zu diesem Zwecke dort, wo wir den Wert der Direktrix angeben können, benutzen.

§. 117.

Das Potential zweier geschlossener Ströme auf einander. Durch eine Umformung des in §. 115 abgeleiteten Ausdrucks für die Wirkung zweier Stromelemente auf einander können wir leicht nachweisen, dafs die Wirkung zweier geschlossener Ströme auf einander durch ein Potential bestimmt ist, dessen partielle Derivierten nach den Koordinatenaxen uns die Wirkungen dieser Ströme parallel diesen Axen geben. Von den beiden Elementen ds und ds' gehöre wie in Fig. 216 das erstere zu dem geschlossenen Strome L, das andere zu dem geschlossenen Strome L', die Koordinaten des erstern seien wie bisher x, y, z, des letztern x', y', z'. Die nach der Verbindungslinie r der beiden Elemente gerichtete Wirkung ist mit den frühern Bezeichnungen

Um die Wirkung parallel den Koordinatenaxen zu erhalten, haben wir w zu multiplizieren mit beziehungsweise

Betrachten wir zunächst nur die Komponente parallel x, so wird dieselbe

Zur Umformung führen wir den Differentialquotienten des cos r,x nach s ein, derselbe wird

x'

ds

x dr 7.2 ds

1 dx

r ds'

da bei dieser Differentiation x' konstant ist.

Wir differentiieren jetzt nochmals nach s', bei welcher Differentiation x konstant ist und erhalten

Addieren und subtrahieren wir auf der rechten Seite den Ausdruck

Führen wir diese Ausdrücke ein, so erhält man leicht

Das zweite Glied auf der rechten Seite können wir schreiben

Setzen wir diese Ausdrücke in die Gleichung für ein, so wird dieselbe

Ganz genau in derselben Weise erhält man die Komponenten der Wir kung parallel der Axe der Y und parallel der Axe der Z; man hat nur um die erstere zu erhalten für x' einzusetzen y' und für x die Ordinate y; ferner x mit z' und x mit z zu vertauschen, um die Komponente parallel Z zu bestimmen.

Die den drei Koordinaten parallelen Komponenten der Wirkung, welche die geschlossenen Ströme auf einander ausüben, erhalten wir aus der abgeleiteten Wirkung der Elemente, indem wir für jedes Element des einen und des andern Leiters diesen Ausdruck bilden, und dann alle diese Ausdrücke summieren, also über die beiden Leiter L und L' integrieren. Bei der Integration über L' fällt das erste Glied

aus, denn der Ausdruck unter dem Integralzeichen ist ein vollständiges Differential, und bei der Integration über den geschlossenen Leiter 1 fallen die obere und untere Grenze des Integrals zusammen.

Gleiches gilt bei der Integration über L' für das dritte Glied und aus demselben Grunde.

Für die X-Komponente der Wirkung des Leiters L' auf das Element. ls erhalten wir demnach

Daraus erhalten wir die X-Komponente der Wirkung der gesamten Leiter, indem wir nochmals über den Leiter L, also nach s summieren

Aus demselben Grunde, aus welchem bei der vorigen Summation las dritte Glied fortfiel, fällt jetzt das zweite Glied wieder fort, da dieses lie Summe der Differenzen aller auf einander folgenden Werte als Faktor enthält, welche annimmt, wenn ds nach und nach alle Lagen auf dem

Leiter L annimmt.

Die X-Komponente wird also schliefslich für zwei geschlossene Leiter

Diese drei Komponenten lassen sich aber als die partiellen Derivierten nach den Richtungen der Axen eines und desselben Ausdruckes, nämlich des Ausdruckes

betrachten, wie man in folgender Weise erkennen kann. Sei der Wert des Integrals in obigem Ausdruck bei der wirklich stattfindenden Lage ler Leiter gleich U, also

Nun sei der Leiter I ganz festgehalten, und der Leiter L' werde parallel der Axe X um die unendlich kleine Gröfse dy verschoben, so dafs jedes Element des Leiters ds', welches vorher die Koordinate x ́ hatte, jetzt die Koordinate x'+dy' hat. Die andern Koordinaten y' und sind dann ungeändert, und ebenso der Winkel ɛ, den die beiden Elemente mit einander bilden. Durch die Änderung von x' ist aber r in r′ übergegangen und damit U in U+ & U, so dafs

worin aus der Gleichung

'2 =

zu berechnen ist

=

2

= (x' + ôx′ — x)2 + (y′ − y)2 + (z′ — 2)2

= {(x' + dx′ — x)2 + (y′ − y)2 + (e' — e)3} ̃ ̄`' ́*,

oder da dr als unendlich klein gegen dy' zu vernachlässigen ist,

worin wir für die Verschiebungen die deutschen Zeichen E, 9, 3 einsetzen, um anzudeuten, dafs die Änderung der Koordinaten für alle Elemente des Leiters gleichmässig durch eine Verschiebung des Leiters zu nehmen ist, nicht durch ein Fortrücken der Elemente ds und ds' auf den Leitern.

Der Wert W hat hiernach die Bedeutung des Potentials des einen Leiters auf den andern, in derselben Bedeutung, wie wir früher das Potential zweier ruhender elektrischer Massen bestimmt haben. Wir werden deshalb dieses Potential später benutzen können, um die Arbeit zu bestimmen, welche durch die Bewegung zweier Leiter gegen einander ge wonnen oder geleistet wird, wobei wir gleich hier bemerken, dafs das Potential zu solchen Berechnungen nicht nur dienen kann, wenn die Leiter einander genähert oder entfernt, sondern auch, wenn sie gegen einander gedreht werden ').

Zur Berechnung elektrodynamischer Wirkungen werden wir es nicht benutzen, da die hier uns gesteckten Grenzen eine Ausführung der Rechnungen nicht gestatten.

1) Die Bestimmung obiger Funktion als Potential zweier geschlossener Ströme ist zuerst von Neumann gegeben in: F. Neumann, Allgemeine Gesetze der induzierten Ströme. Abhandl. der Berliner Akad. 1845. Obige Ableitung ist nach Stefan, Sitzungsber. der Wiener Akad. 1869.

§. 118.

Webers experimentelle Prüfung des elektrodynamischen Grundgesetzes. Die in §. 115 gegebene Ableitung des elektrodynamischen Grundgesetzes, besonders die Bestimmung der Konstanten beruht auf der Herstellung gewisser Gleichgewichtslagen, in denen die auf einander wirkenden Kräfte sich das Gleichgewicht halten, und infolgedessen keine Bewegung des beweglichen Stromleiters eintritt. So sehr man auch den Geist Ampères bewundern mufs, welcher die Bedingungen dieser Beobachtungen auffand und aus denselben dann die Theorie der Erscheinungen ableitete, so läfst sich doch nicht leugnen, dafs diese experimentelle Grundlage der Theorie nicht die ausreichende Festigkeit besitzt, um sie als über jeden Zweifel erhaben erscheinen zu lassen. Denn Ampère gründet seine Entwicklungen auf die Beobachtung, dafs unter gewissen Umständen keine Bewegung eintritt, wenn Ströme auf Stromteile einwirken, und auf die Annahme, dafs in diesen Fällen die elektrodynamischen Kräfte sich das Gleichgewicht halten. Letztere Annahme kann in Zweifel gezogen werden; denn damit eine Bewegung eintritt, müssen immer gewisse Bewegungshindernisse, insbesondere Reibung überwunden werden, wie vorsichtig man auch alles. anwendet, um diese Hindernisse möglichst gering zu machen. Man kann deshalb aus dem Ausbleiben einer Bewegung nicht schliefsen, dass die wirksamen Kräfte sich vollständig aufheben, sondern nur, dafs sie nicht hinreichend sind, um die mechanischen Hindernisse der Bewegung zu überwinden.

Deshalb ist es notwendig, die elektrodynamischen Kräfte direkt zu messen, d. h. sie mit mechanischen Kräften zu vergleichen, indem man elektrodynamische und genau mefsbare mechanische Kräfte einander entgegenwirken läfst, und beobachtet, wann sie sich das Gleichgewicht halten. Man kann hierbei natürlich nicht einzelne Stromelemente auf einander wirken lassen, sondern mufs geschlossene Ströme anwenden.

Diesen Weg zur Prüfung des elektrodynamischen Grundgesetzes hat W. Weber eingeschlagen'); Weber berechnete das Drehungsmoment, welches ein fester Kreisstrom auf einen beweglichen in verschiedenen Lagen ausübt, und verglich mit den Resultaten der Rechnung die ablenkenden Kräfte, welche ein Kreisstrom in diesen Lagen auf einen andern ausübte.

Wir müssen uns hier darauf beschränken, die Versuche Webers zu beschreiben und die von ihm gegebene Vergleichung der Resultate des. Versuches mit denen der Rechnung anzuführen, da die Durchführung jener Rechnungen viel zu weit führen würde, weil eine Berechnung der Wirkungen der Ströme nur durch Reihenentwicklung möglich ist. Wir verweisen deshalb auf die Abhandlung von Weber.

Wenn ein Kreisstrom K (Fig. 217) um die vertikale durch seinen Mittelpunkt O gehende Axe Z drehbar aufgehängt ist, und ein zweiter Kreisstrom, dessen Ebene senkrecht zur Ebene des ersten ist, und dessen Mittelpunkt O' in derselben Horizontalebene liegt wie O, auf denselben

1) W. Weber, Elektrodynamische Mafsbestimmungen. I. Teil. Leipzig 1846. Auszüglich in Poggend. Ann. Bd. LXXIII.