Anmerkungen. 1) Mémoires de Mathématique et de Physique, tirés des régistres de l'Académie royale des sciences. Année 1782: Théorie des attractions des spheroides et de la figure des planètes, par M. de la Place. *) Dieser Satz ist von G. Green für die Potential theorie aufgestellt und bewiesen. Crelle's Journal B. 44: An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Electricity and Magnetism. Art. 3. *) Diese Angabe Dirichlet's ist nicht ganz genau: Newton hat die Anziehung bestimmt für den Fall, dass der Punkt auf der Verlängerung oder am Ende der Umdrehungsaxe liegt (im ersten Buch seiner Principia philosophiae naturalis, Sectio XIII); ausserdem hat er (im dritten Buch der Principien, propositio 19) ein angenähertes Verhältniss der Anziehung am Pol der Erde, also eines von der Kugel nur wenig abweichenden Ellipsoides, zur Anziehung am Aequator gefunden. 4) Mac Laurin hat seine Untersuchungen hierüber zuerst mitgetheilt in seiner von der Pariser Akademie gekrönten Preisschrift: De caussa physica fluxus et refluxus maris, 1740. Dieselbe befindet sich abgedruckt im Recueil des pièces qui ont remporté les prix de l'acad. roi, des sc. Tom. IV., und in der von le Seur und Jacquiers besorgten Ausgabe von Newton's Principienf. Uebrigens findet man das in der genannten Abhandlung über das Attractionsproblem Enthaltene auch in Mac Laurin's Treatise of fluxions T. L Chap. 14. 6) Treatise of fluxions a. a. O. 6) Nouveaux Mémoires de l'Académie royale à Berlin. Année 1773. ) Opuscules mathématiques par d'Alembert. Tome VI. 1773. Sur la figure de la terre, art. 73-77. ") Recherches sur l'attraction des Spheroides homogènes. Mémoires de Mathématique et de Physique, présentés à l'Académie par divers sa vans, Paris 1785. *) Mac Laurin hat folgenden Satz aufgestellt und bewiesen: Die Kräfte, mit denen zwei confocale ungleichaxige Ellipsoide denselben auf einer ihrer Axen liegenden äusseren Punkt anziehen. Massen proportional (Treatise of fluxions Art. 653). allgemein gültig sei für jede Lage des angezogen Mac Laurin noch nicht, wie aus Art. 654 dent meine Notiz hierüber in Schlömilch's Zeitschr 10) Histoire de l'Académie des Sciences 1) Hist. de l'Ac. des Sc. de Paris conducteur quelconque; mais quoique cette proposition paraisse trèssimple, il serait cependant très-difficile de la démontrer au moyen des formules de l'attraction des sphéroïdes; et c'est un de ces cas où l'on doit suppléer à l'imperfection de l'analyse par quelque considération directe. On trouvera dans la suite de ce Mémoire, une démonstration purement synthétique, que M. Laplace a bien voulu me communiquer, et qui prouve qu'à la surface de tous les corps électrisés, la force répulsive du fluide est partout proportionelle à son épaisseur. Pag. 30. On démontre aussi, sans aucun calcul, que la répulsion électrique à la surface d'un corps quelconque est proportionelle à l'épaisseur ou à la quantité d'électricité, accumulée en chaque point; mais cette proposition est comprise dans une autre plus générale, dont je vais donner la démonstration. Je considère une couche infinement mince, solide ou fluide, et de telle forme qu'on voudra; je suppose que l'on prenne un point A sur la surface extérieure, et qu'on y élève une normale à cette surface, qui aille couper la surface intérieure en un point que j'appelle a, je désigne par y l'épaisseur Aa de la couche, par R son action sur le point A, décomposée suivant la normale Aa, et par R' son action sur le point a, décomposée suivant la même droite; je dis qu'on aura toujours Cette démonstration est celle que nous avons annoncée au commencement de ce Mémoire, et qui nous a été communiquée par M. Laplace. Nous l'avons rendue un peu plus générale, en considérant d'abord une couche fluide ou solide qui n'était pas assujétie à n'exercer aucune action sur les points de la surface intérieure. Hiernach ist also der von Dirichlet Coulomb als ein Resultat der Beobachtung zugeschriebene Satz zuerst von Poisson aufgestellt als Ergebniss theoretischer Betrachtungen, und von Laplace zuerst bewiesen (ob auch Laplace diesen Satz selbständig gefunden, geht aus Poisson's Bericht nicht klar hervor); der allgemeinere Satz, der ersteren als speciellen Fall umfasst, der nach Dirichlet von Laplace herrühren soll, ist von Poisson aufgestellt und auch indem er den von Laplace ihm mitgetheilten Beweis des ersten Satzes etwas verallgemeinerte bewiesen. Ich theile noch den von Poisson verallgemeinerten Laplace'schen Beweis mit. Pour le prouver, menons par le point intérieur a un plan perpendiculaire à Aa; ce plan partagera la couche que nous considérons, en deux segmens; celui qui répond à la flèche Aa sera infiniment petit par rapport à l'autre; mes les actions des deux segmens sur le point = A, ou sur le point a, n'en seront pas moins comparables et du même ordre. Appellons S l'action que le grand segment exerce sur le point a, suivant la normale Aa; soit aussi s l'action du petit segment sur le même point, et décomposée suivant la même droite; pour fixer les idées, supposons que ces actions proviennent des attractions de tous les points de la couche sur le point a, de sorte que ce point soit tiré de dehors en dedans, par l'excès de la force S sur la force s, et qu'on ait par conséquent R' S-s. En négligeant les quantités du second ordre par rapport à l'épaisseur de la couche, l'attraction du grand segment est evidemment la même sur les deux points A et a; avec un peu d'attention, on s'assura de même que l'attraction du petit segment sur le point A, ne peut différer de celle qu'il exerce sur le point a, que d'une quantité infinement petite par rapport à cette force; il s'ensuit donc que le point A est tiré de dehors en dedans suivant la normale Aa, par la somme des deux mêmes forces S et s, qui agissent en sens contraire l'une de l'autre sur le point a; par conséquent on a RS+s, et en retranchant la valeur précédente de R', il vient Ꭱ - Ꭱ = 2 s. = Il reste maintenant à déterminer la valeur de s. Or, si nous prenons au-delà du point a, sur le prolongement de la normale Aa, un point quelconque C, et que de ce point, comme centre, nous décrivions deux surfaces sphériques passant par les points A et a, nous formerons une couche sphérique d'une épaisseur constante et égale à y; son attraction sur le point intérieur a sera nulle; sur le point extérieur A, elle sera la même que si la couche entière était réunie à son centre C, ou, autrement dit, elle sera exprimée par 4лy; relative à cette couche, on aura donc R' = 0, R 4ny, et l'équation générale R-R' = 28 deviendra 4лy 2s', ou 2лу = s', en représentant par s' l'attraction exercée sur le point A par le segment sphérique qui répond à la flèche Aa. Menons par la droite AC une suite de plans qui partage ce segment en une infinité de parties, soit a l'angle compris entre deux de ces plans: l'attraction normale de la partie correspondante à cet angle sera à l'attraction s' du segment entier, comme a est à 27; elle sera donc égale à ay; et comme elle se trouve indépendante du rayon AC, il en résulte que l'attraction s' du segment sphérique ne diffère pas de l'attraction s du segment quelconque que nous avions d'abord considéré. En effet, en faisant varier les rayons des différentes parties du segment sphérique, on fera coïncider chacune d'elles avec la partie correspondante de l'autre segment, et leur somme exprimera l'attraction de ce segment; mais les attractions partielles étant indépendantes de ces changemens de rayon, leur somme restera toujours égale à s'; par conséquent on aura s=s' = 2ñу. Substituant cette valeur dans l'équation précédemment trouvée, il vient RR' 4ny; ce qu'il fallait démontrer. = De même, si l'on appelle T l'action de la couche entière sur le 11* point A, décomposée suivant le plan tangent, ou perpendiculaire à Aa et que l'on désigne par T′ son action sur le point a, aussi perpendiculaire à cette droite, on trouvera T = T', en observant que dans cette direction l'action du petit segment peut être supposée nulle. S'il s'agit d'une couche fluide répandue sur un sphéroïde de forme quelconque, et disposée de manière qu'elle n'exerce aucune action sur les points intérieurs, ce qui est le cas du fluide électrique, on aura T′ = 0, R 0; donc aussi T 0, R 4лу; d'où il suit 1° que la force tangentielle est nulle à la surface extérieure; 2o que la force normale à cette surface est proportionelle à l'épaisseur de la couche en chaque point. = = = 15) Für die ellipsoidische Schale z. B. ist, wenn die Dicke am Ende der Halbaxe a bezeichnet, nach §. 11. 16) §. 14. enthält den Beweis dieses Satzes. 17) Es wird gut sein, dies allgemein gültige Resultat an dem einfachen Fall, dass die mit Masse belegte Fläche eine Kugelfläche, und die Masse von constanter Dichtigkeit ist, zu prüfen. Bezeichnen wir die constante Dichtigkeit der auf der Kugelfläche befindlichen Masse durch k, den Radius der Kugelfläche durch a, so erhält man leicht mit Hilfe der in §. 5. für den Fall einer homogenen Vollkugel entwickelten Potentialausdrücke folgende Ausdrücke für das Potential v jener Masse. Liegt der Punkt O im Innern, so wird v = Απλα Const, und liegt er im Aeussern, so wird v = 4πία 2 = wo das obere oder untere Zeichen gilt, jenachdem der Abstand x des Punktes O von der Kugelfläche als positiv oder negativ betrachtet wird. Hieraus erhält. man zunächst, für innere Punkte: Sehen wir die ausserhalb der Fläche fallenden x als positiv an, nach (2) (x)+ so ist dv — — 47k, und nach (1) (d)=0; sehen wir hin dx -8 gegen die innerhalb der Fläche liegenden x als positiv an, so ist nach |