Zweiter Abschnitt. Potential und Anziehung eines homogenen Ellipsoides. Dem §. 8. Fig. 8. Die Aufgabe, die Anziehung, welche ein homogenes Ellipsoid auf einen innern Punkt ausübt, zu finden, hat schon Newton behandelt. Derselbe hat die Aufgabe aber nicht vollständig gelöst: er hat sich auf den Fall eines Umdrehungsellipsoides beschränkt und gefunden, dass die Richtung der Anziehung für alle auf demselben Durchmesser liegenden Punkte dieselbe ist, und die Grösse der Anziehung proportional der Entfernung des angezogenen Punktes vom Mittelpunkt (Fig. 8.). nach kam das ganze Problem darauf hinaus, die Anziehung für einen Punkt der Oberfläche zu bestimmen nach Richtung und Intensität. Newton hat dies bloss für die am Ende der Umdrehungsaxe und auf dem Aequator liegenden Punkte gethan.) Erst Mac Laurin hat die Aufgabe vollständig gelöst.1) Mac Laurin ging aber weiter und beschäftigte sich mit der Bestimmung der Attraction für einen äussern Punkt; es gelang ihm dies freilich nur für äussere Punkte, die auf der verlängerten Rotationsaxe und in der Ebene des Aequators liegen.5) Diese Resultate waren auf gemischtem Wege gefunden: theils durch Construction, theils durch Rechnung. Seine Arbeiten fielen in eine Zeit, wo die Analysis grosses Uebergewicht hatte, und man es unangenehm empfand, dass man nicht rein durch Rechnung zum Resultat gelangen konnte. Lagrange hat die Mac Laurin'schen Resultate durch blossen Calcül erhalten), hat aber die Lösung nicht weiter gefördert. D'Alembert bemerkt, dass sämmtliche Schlüsse Mac Laurin's auch für ein ungleichaxiges Ellipsoid gelten.") Der nächste bedeutende Schritt ist von Legendre) gemacht. Legendre hat die merkwürdige Entdeckung gemacht, dass wenn man überhaupt irgend einen Umdrehungskörper hat und die Attraction für die auf der Umdrehungsaxe befindlichen Punkte kennt, man daraus die Attraction für jeden beliebigen andern Punkt finden kann. Mit Hilfe dieses Satzes hat Legendre die Aufgabe für den äusseren Punkt vollständig gelöst, für ein Umdrehungsellipsoid. Auch hat Legendre gleichzeitig den nach Mac Laurin benannten Satz bestimmt ausgesprochen (bewiesen hat er ihn erst später), der sich bei Mac Laurin nur angedeutet findet.") Der Mac Laurin'sche Satz lautet: Wenn die drei Hauptschnitte zweier Ellipsoide resp. dieselben Brennpunkte haben, so haben die Kräfte, mit denen sie denselben äusseren Punkt anziehen, dieselbe Richtung und verhalten sich zu einander wie die Massen der Ellipsoide. Da die Massen zweier Ellipsoide den Producten ihrer Halbaxen proportional sind, so kann man auch sagen, die Kräfte seien den Producten der Halbaxen proportional. Dieser Satz war ungemein wichtig, weil man damit, auch für das ungleichaxige Ellipsoid, die Aufgabe für den äussern Punkt völlig absolviren konnte, nachdem sie für die im Innern. und auf der Oberfläche gelegenen Punkte gelöst war. Denn man durfte ja nur das gegebene Ellipsoid so anwachsen lassen, bis der angezogene Punkt auf der Oberfläche lag. Aber jener Satz war sehr schwierig zu beweisen, war ein blosses Inductionsresultat. Um den Nachweis desselben haben sich die Bemühungen der Mathematiker lange gedreht. Laplace hat ihn zuerst allgemein bewiesen, durch Reihenentwicklung. 10) Einen anderen, aber auch höchst complicirten Beweis hat Legendre gegeben. 11) Später ist die Sache sehr vereinfacht. Wir beweisen nur die Richtigkeit der für das Potential gefundenen Ausdrücke. Es findet in Bezug auf das Potential eines homogenen Ellipsoides eine ganz andere Formel statt, wenn der angezogene Punkt ein innerer und wenn er ein äusserer ist, wie dies auch schon bei der Kugel der Fall war. Das Potential einer Kugel hatte (für k = 1) im Innern die Form 2 α2 2π 3 im Aeussern dagegen 3 Απα 3 ୧ Also im Innern ist das Poten tial ein Ausdruck zweiten Grades in Bezug auf x, y, 2: Dieselbe Form findet auch beim Potential des Ellipsoids statt. Die Rechnungen ergeben v = G Lx2 My N2; G, L, M, N hängen von elliptischen Integralen ab. Ist die Dichtigkeit gleich 1, so ist, wenn man zur Abkürzung Hieraus wollen wir jetzt selbst, mit Benutzung des Mac Laurin'schen Satzes, den Ausdruck des Potentials für äussere Punkte entwickeln. §. 9. Durch den angezogenen Punkt (x, y, z) legen wir ein dem ursprünglichen confocales Ellipsoid, dessen Halbaxen wir a', ', ' nennen. Ist das Potential des neuen Ellipsoids, so hat man nach dem Mac Laurin'schen Satze Die Halbaxen a', B', y' finden wir durch Auflösung einer cubischen Gleichung. Da der Punkt (x, y, z) nämlich auf der Oberfläche des neuen Ellipsoides liegen soll, so muss sein; da ferner das neue Ellipsoid dem alten confocal sein soll, so muss setzen können: durch Substitution dieser Werthe in (a) entsteht Durch diese cubische Gleichung ist völlig bestimmt; denn dieselbe hat nur eine positive Wurzel, weil es nur ein dem ursprünglichen confocales Ellipsoid giebt, das durch den Punkt (x, y, z) geht. Sind a', B', ' auf diese Weise gefunden, so bestimmt sich der Werth des aus der Gleichung 1) des vorigen Paragraphen, die ja bis zur Oberfläche incl. gültig ist. Demnach wird Die vorstehenden Integrale können wir auf dieselbe Form bringen, welche die in dem für innere Punkte gültigen Potentialausdruck vorkommenden haben, wenn wir s′ = s — 6 setzen. Dadurch wird Also haben wir einen ganz ähnlichen Ausdruck für den äusseren Punkt, wie für den inneren, nur dass die Integrale jetzt nicht von 0 sondern von 6 anfangen: 6 hängt, als die positive Wurzel der Gleichung (b), von der Lage des angezogenen Punktes ab. §. 10. Um nachzuweisen, dass die rechten Seiten der Gleichungen 1) in §. 8. und 2) in §. 9. das Potential eines homogenen Ellipsoides, resp. für innere und äussere Punkte, darstellen, haben wir nach §. 7. nur zu zeigen, dass sie jenen drei Bedingungen genügen. Der Ausdruck auf der rechten Seite in 1) ist offenbar stetig. Da ferner 6 sich stetig ändert, wenn sich der Punkt (x, y, z) im äussern Raum bewegt, so ist auch der Ausdruck auf der rechten Seite in 2) stetig. Da an der Oberfläche 60 ist, so geht dort der zweite Ausdruck in den ersten über; mithin ändert sich die durch 1) und 2) gegebene Function auch stetig beim Uebergang vom äussern Raum in den inneren. Wir haben jetzt die Derivirten von v im innern und äussern Raum zu bilden. Wir suchen zunächst die Derivirte von 6 nach x aus der Gleichung Die Regel für die Derivirte einer impliciten Function ergiebt: |