Es ist klar, dass gesetzt ist. nicht Null werden kann. Denn dann müssten gleichzeitig x, y, z gleich O sein, was do dx nur im Mittelpunkt des Ellipsoides der Fall ist: bleibt also immer endlich und ändert sich stetig. Berücksichtigt man für die Differentiation von v im äussern Raum den bekannten Satz: Es ist klar, dass beide Ausdrücke stetig sind. An der Oberfläche, wo σ = O ist, fallen sie zusammen. v Also auch do (ebenso d) ist im innern und äussern Raum stetig, dx dv dv dy' und auch stetig beim Uebergang vom ersten in den zweiten. Durch nochmalige Differentiation erhält man: Diese beiden Ausdrücke fallen an der Oberfläche nicht zusammen. Schreibt man hiernach die entsprechenden Aus Die vorstehenden Integrale lassen sich leicht angeben. Es ist Für den inneren Punkt sind die Grenzen s = ∞ wird das unbestimmte Integral 0, Für den 6 wird das wie es, der zweiten Bedingung gemäss, sein muss. äussern Punkt ist die untere Grenze 6: für s unbestimmte Integral, folglich das mit 2л multipli Also im äussern Raum wird, gleichfalls in Uebereinstimmung mit der zweiten Bedingung: Es ist noch nachzuweisen, dass unsere Ausdrücke auch der dv dritten Bedingung genügen, der zufolge vx und 2 überall endlich bleiben müssen. Dies braucht übrigens nur für den äussern Raum nachgewiesen zu werden. Im äussern Raum ist Wenn wir ein Integral haben, dessen Elemente alle dasselbe Zeichen haben, so können wir alle Elemente desselben vergrössern, und vergrössern so das Ganze. Der Factor in dem ersten Integral liegt zwischen 0 und 1: schreiben wir also dafür 1, so vergrössern wir das Integral. Wir Bezeichnet man die kleinste der drei Halbaxen mit 2, dann ist √((s + a2) (s + B2) (s + y2)) > (s + 22)3, weder ein echter Bruch oder gleich 1, und deshalb (a) ent Hieraus in Verbindung mit (a) folgt, dass x was nicht wächst. Ebenso findet man, dass das zweite Inte Für die Componente der Anziehung, die eine homogene ellipsoidische Masse auf einen Punkt im Innern ausübt, gilt nach dem vorigen Paragraphen die Gleichung: Dies Integral hängt nur von dem Verhältniss der Axen ab, d. h. es ändert sich nicht, wenn man die Axen in demselben Verhältniss zu- oder abnehmen lässt. Dies ist auf der Stelle klar, wenn man statt s die neue Integrationsvariable t = einführt, wodurch jenes Integral übergeht in das α 2 Hierin kommt nur das Verhältniss von a zu ß, und von a zu y vor: also das Integral bleibt dasselbe, wenn auch a a a, B, 7 sich ändern, so lange nur und constant bleiben. β γ Die X-Componente ist also dieselbe für zwei Ellipsoide, die beide den angezogenen Punkt umschliessen und in ihren Axen ein constantes Verhältniss haben, während die Axen des einen mit denen des andern in dieselbe Richtung fallen; dasselbe gilt von den beiden anderen Componenten Y und Z. Daraus folgt: Eine homogene ellipsoidische Schale, die von zwei concentrischen, ähnlichen und ähnlich liegenden Flächen begrenzt wird, übt auf einen beliebigen innerhalb der Höhlung liegenden Punkt keine Wirkung aus. Es findet also auch Gleichgewicht statt für einen Punkt, auf den lauter unendlich dünne, homogene, von ähnlichen Flächen begrenzte Schichten wirken, wenn auch die Dichtigkeiten der einzelnen Schichten verschieden sind. Dies Resultat kennt man seit Newton; es ist Niemandem eingefallen zu untersuchen, wie es mit der Wirkung einer solchen Schale nach aussen beschaffen ist. Jetzt wollen wir das Ellipsoid sich ändern lassen, so aber dass die Axen dasselbe Verhältniss zu einander behalten. Setzen wir zunächst wieder s at, so erhalten wir 1 1 + t oder, wenn wir letztere mit a2 multipliciren, der Gleichung Das Integral, auf welches wir hier kommen, hängt also, wegen der unteren Grenze, allerdings von dem absoluten Werth der Axen ab: es findet aber doch etwas Einfaches statt, wenigstens in Bezug auf die Anziehung einer unendlich |