- dünnen Schale, deren äussere Fläche der inneren ähnlich ist. Die äussere Fläche soll die Halbaxen a, p, 7 haben; damit die innere Fläche der äusseren ähnlich sei, setzen wir deren Halbaxen gleich a (1 − e), ẞ ( 1 − e), 7 (1 — ε). Die Componente des äusseren Ellipsoides sei X, die des inneren X': dann wird X-X' die Componente der Schale sein. Setzen n, so haben wir wir für den Augenblick α = m, γ dt } ((1 + t) (1 + m2t) (1 + n*t)) 1 + Hieraus sieht man, dass die Formel für X' aus der für X erhalten wird, wenn man in letzterer nur statt a setzt aɛ, denn m und n sind für X' dieselben wie für X. Für ein unendlich kleines & ist demnach α - 2 α α da (b) Sehen wir als Function von a an und differenziren die Es wird gut sein, zur Abkürzung a2 + 6, ß2 + σ, y2 + o 2 zu nennen a2, p′2, y'2; a', B', ' werden dann die Halbaxen Für die Resultante E=1 X-F-Z 5det man einen einfacheren Ausdruck, i-T R=47 Das Volumen des äusseren Elisciles ist fraßy, das des interen 4xαßy (1 − e)3 = $a3y 1-3: also ist das VoΑπαβγ - ε Jamen der Schale 4apps, und da die Dichtigkeit k=1 ist, so ist auch die Masse der Schale 47a3ys. Bezeichnen wir diese Masse durch M, so haben wir Es ist noch die Richtung der Resultante zu bestimmen, d. h. de drei Winkel, welche sie mit den drei Coordinatenaxen et, Nennen wir diese Winkel i, u, v, so ist =R Die hier vorkommenden Grossen, sowol als das p, haben eine einfache geometria Gleichung des Ellipsoides, dessen ir sind, lautet: Legt man an einen Punkt r.. tiger one he Fangential ebene, und nennt die laufenden Coordinaten ler etter! wr so ist, da die Gleichung der an den t ,, Fläche L=0 gelegten Tangentalebene hese t dL in unserem Fall die Gleichung ter Tangenturene Wenn man die Gleichung einer Eene in de irm grunt hat, dass das constante ed auf der zweiten Seite positiv und die Summe der Quadrate der fra Coeficenten ont, u. gleich 1 ist, so sind diese drei Coetheenten bekanntlich die Cosinus der Winkel. weiche das vom Anfangspunkt auf die Ebene herabgelassene Perpende mit den dry Acem budet, und die zweite Seite die Linge den Perpendicia. Multipli eiren wir die Gleichung mut p. to enterent und in dieser Gleich ing haben die Coefficienten von t, u, r die Eigenschaft, dass die Humne ihrer Qudrate gleich 1 ist. Nennen wir also die drei Winkel, die das vom Anfangs punkt, d. i. vom Mittelpunkt des Ellipsoils, auf die in dem Punkt x, y, z an das confocale Ellipsoid elegte Tangentialebene gefällte Perpendikel mit den drei A. bildet, 2, 1, 1: so ist eos = s. w. Also 2 und v' sind Nebenwinkel. Damus folgt, dass auf den Punkt (x, y, sgeübte Kraft Dirienlet, Potentialtheorie. des durch den äusseren Punkt (x, y, z) gelegten confocalen Ellipsoides sein. Setzt man gleichzeitig für m2 und n2 wieder ihre Werthe, und dividirt beide Seiten der letzten Gleichung durch a1, so erhält man zeichnen die Componenten der Schale, die resp. der X-, Y-, ZAxe parallel sind, durch X, Y, Z, so haben wir Für die Resultante R= √(X2 + Y + Z) findet man einen noch einfacheren Ausdruck, nämlich 12) Das Volumen des äusseren Ellipsoides ist naẞy, das des inneren aẞy (1- ε)3 = = 1 · παβγ лαẞy (13); also ist das Volumen der Schale 4лaßye, und da die Dichtigkeit k ist, so ist auch die Masse der Schale 4лaßy ɛ. Bezeichnen wir diese Masse durch M, so haben wir Es ist noch die Richtung der Resultante zu bestimmen, d. h. die drei Winkel, welche sie mit den drei Coordinatenaxen bildet. Nennen wir diese Winkel λ, u, v, so ist Die hier vorkommenden Grössen, sowohl die drei Cosinus, als das p, haben eine einfache geometrische Bedeutung. Die Gleichung des Ellipsoides, dessen drei Halbaxen a', B', y' sind, lautet: Legt man an einen Punkt (x, y, z) dieser Fläche die Tangentialebene, und nennt die laufenden Coordinaten der letztern t, u, v, so ist, da die Gleichung der an den Punkt (x, y, z) der Fläche L0 gelegten Tangentialebene diese ist: Wenn man die Gleichung einer Ebene in die Form gebracht hat, dass das constante Glied auf der zweiten Seite positiv und die Summe der Quadrate der drei Coefficienten von t, u, v gleich 1 ist, so sind diese drei Coefficienten bekanntlich die Cosinus der Winkel, welche das vom Anfangspunkt auf die Ebene herabgelassene Perpendikel mit den drei Axen bildet, und die zweite Seite die Länge des Perpendikels. Multipliciren wir die Gleichung (c) mit p, so entsteht und in dieser Gleichung haben die Coefficienten von t, u, die Eigenschaft, dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist. Nennen wir also die drei Winkel, die das vom Anfangspunkt, d. i. vom Mittelpunkt des Ellipsoids, auf die in dem Punkt (x, y, z) an das confocale Ellipsoid gelegte Tangentialebene gefällte Perpendikel mit den drei Axen bildet, ', u', v': so ist cos λ' u. s. w. Also λ und 2', u und u', v und v sind Nebenwinkel. Daraus folgt, dass die von der Schale auf den Punkt (x, y, z) ausgeübte Kraft senkrecht gegen = px 2 α Dirichlet, Potentialtheorie. 4 |