also auf der Normale beim Uebergang von der einen Seite der Fläche auf die andere sprungsweise, und zwar um 4лk. Dieser Satz ist unendlich wichtig; fast alle Untersuchungen beruhen darauf. Wir können demselben eine etwas andere Form geben. Sei m (Fig. 13.) ein Punkt der Fläche; durch m ziehe man die Normale Pmn; P sei ein fester Punkt auf derselben. Die Distanz irgend eines festen Punktes n auf der Normale von P sei p, und die des Punktes m von P sei a: Pn=p, Pm =α. Der Punkt m sei auch ein Anfangspunkt, nämlich für die Distanzen mn, die wir x nennen, so dass p= a + x. Auf der Normale hat das Potential an jeder Stelle einen durch p oder x bestimmten Werth; wir können also anstatt v nach x zu differen ziren, auch nach p differenziren: d v dv dx dp Da ferner, für x = + ε, p = a + & ist, so ist k ist die Dichtigkeit an der Stelle, wo die Normale die Fläche trifft. §. 15. Dem Potential v einer über eine oder mehrere von einander getrennte Flächen verbreiteten Masse kommen nach dem Vorhergehenden folgende Eigenschaften zu: 1) Das Potential v ist überall stetig. (§. 13.) 2) Ausserhalb der Fläche, resp. Flächen, sind alle Derivirten von v stetig (§. 13.), und (§. 3.) 3) Auf der in irgend einem Punkt einer der Flächen auf letzterer errichteten Normale ist v eine blosse Function der Distanz p, und beim Uebergang von der einen Seite d v dp der Fläche auf die andere unstetig, indem Dirichlet, Potential theorie. 5 4) xv, yv, zv, d v dx' dv d v 22 sind immer endliche dy' dz Werthe, d. h. sie wachsen nicht mit wachsendem x, y oder z. (§. 7.) Ebenso wie die drei in §. 7. enthaltenen Eigenschaften des Raumpotentials (d. h. des Potentials einer einen Raum erfüllenden Masse) für dasselbe charakteristisch waren, so sind es auch diese vier Eigenschaften für das Flächenpotential, d. h. es giebt nicht noch eine zweite Function v1, die alle diese Bedingungen erfüllt: alle vier Eigenschaften vereinigt besitzt nur das Flächenpotential. Dies lässt sich ganz ähnlich beweisen, wie jener Satz über das Raumpotential bewiesen ist. Existirte also ausser dem Flächenpotential noch eine zweite Function v1, der jene vier Eigenschaften gleichfalls zukämen, so würde die Differenz beim Uebergang von der einen Seite der mit Masse belegten Fläche auf die andere. 4) xu, yu, zu, x2 du dx, y2 du du Um nun zu zeigen, dass ein u, welches diesen vier Bedingungen genügt, nur 0 sein kann, beschreiben wir wieder einen Cubus, in den sämmtliche Flächen fallen, und legen dann an jede Fläche wieder zwei benachbarte Flächen. Dann werden in dem Cubus entweder eine Anzahl zusammenhängender Räume entstehen, oder derselbe wird nur einen einzigen zusammenhängenden Raum bilden, jenachdem unter den Flächen wenigstens eine in sich zurückkehrende sich befindet oder nicht. Wir machen wieder von diesem Lemma Gebrauch: Sind erstens u und du du du innerhalb eines begrenz ten Raumes gegeben und stetig, und ist zweitens innerhalb das erste Integral durch den ganzen begrenzten Raum, das zweite über die ganze Oberfläche desselben ausgedehnt; a, B, Y bezeichnen die Winkel, welche die auf dem jedesmaligen Flächenelement nach aussen errichtete Normale mit den drei Coordinatenaxen bildet. hat eine einfache Bedeutung. Ist nämlich irgend eine Function von den drei rechtwinkligen Coordinaten, also eine Function des Ortes, y (x, y, z), gegeben, und zieht man von einem bestimmten Punkt (x, y, z) aus nach irgend einer Richtung irgend eine gerade Linie, so wird die Function sich ändern, wenn man von dem Punkt (x, y, z) aus auf dieser Linie fortgeht; der Werth der Function in dem um & von dem ersten Punkt entfernten und auf jener Linie liegenden Punkt sei : dann nennt man die Grenze des Quotienten 4 in der Richtung jener Linie. Wie aus §. 6. hervorgeht, wird diese Derivirte an irgend einer Stelle gefunden, wenn man die drei Differentialquotienten der gegebenen Function nach den drei rechtwinkligen Coordinaten resp. mit den drei Cosinus der Winkel multiplicirt, die diese Richtung mit den drei Axen bildet, und diese drei Producte addirt. Jener ε für ein abnehmendes & die Derivirte der Function Complex ist also die Derivirte von u in der Richtung der nach aussen errichteten Normale, oder du Die Gleichung dp (1) lässt sich demnach auch so schreiben: 2 2 . du ds. ƒ ((au)2 + (du)' + (du)') ar — fuTM as dp Letztere Gleichung wenden wir auf alle jene zusammenhängenden Räume an, und erhalten so die Gleichung: Lässt man je zwei benachbarte Abschliessungsflächen einander immer näher rücken, und den Cubus immer grösser werden, so nähert sich die rechte Seite wieder der Null (vgl. §. 7. und die Bedingung 3) für u), wenn sie nicht überhaupt schon Null ist. Deshalb kann nirgends, ausserhalb der 2 2 2 Flächen, (du)* + (du)2 + (11)* von O verschieden sein; folg lich haben wir u = const, zunächst in den einzelnen Räumen, da aber die Function u stetig ist, auch in allen Räumen. Weil aber zu nicht wachsen kann, so muss u const = O sein. Vierter Abschnitt. Potential und Kugel functionen. §. 16. Wir wollen den in §. 14. bewiesenen Satz von Laplace anwenden auf den Fall einer Kugelfläche. Dazu ist es jedoch erforderlich, das Potential einer über eine Kugelfläche vertheilten Masse in eine Reihe zu entwickeln. Bei der Kugelfläche sind Polarcoordinaten die zweckmässigsten. Die Polarcoordinaten, welche sich auf Punkte der Fläche beziehen, bezeichnen wir durch accentuirte Buchstaben, die des Punktes O durch unaccentuirte. In dem Potentialintegral v = kds r r = √(q − x)2 + (b − y)2 + (c − z)2) setzen wir also, indem wir den Radius der Kugel R nennen, =V (R2+o2 — 2Ro (cos Der Coefficient von 2 Ro in diesem Ausdruck für r ist auch ein Cosinus von einer einfachen Bedeutung, nämlich der Cosinus des Winkels, den die vom Mittelpunkt der Kugel nach einem Punkt irgend eines Flächenelements ds und nach O gezogenen Linien R und mit einander bilden. Denn nennen wir diesen Winkel ∞ (Fig. 14.), so hat man offenbar r2 = R2 + p2 -2Ro cos o. Vergleicht man dies mit (1), so leuchtet. ein, dass cos + sin sin cos (9—9'))). (1) coscos + sin sin 'cos (❤ — 9') = COS @ |