Erster Abschnitt. Das Potential einer einen Raum erfüllenden Masse. §. 1. Die Untersuchungen, welche den Gegenstand dieser Vorlesungen bilden, datiren von der Entdeckung des Newton'schen Gesetzes, nach welchem zwischen je zwei Massenelementen eine Anziehung stattfindet, welche ihrer Masse proportional und dem Quadrat ihrer Entfernung umgekehrt proportional ist. Nachdem dies Gesetz erkannt war, entstand das Problem, die Wirkung zweier sich gegenseitig anziehenden Massen von endlicher Ausdehnung auf einander zu bestimmen. Jenes Gesetz ist nämlich ein Elementargesetz, insofern es nur für zwei Massen gilt, von denen jede in einem Punkte concentrirt ist. Wenn die Massen also von endlicher Ausdehnung sind, so ist die Gesammtwirkung aus unendlich vielen Elementarwirkungen zu bestimmen. Deshalb lässt sich jenes Problem im Allgemeinen offenbar nicht lösen; nur für gewisse Formen der anziehenden Massen wird die Lösung möglich sein. Hingegen besitzt jene Wirkung gewisse allgemeine Eigenschaften, die von der grössten Bedeutung sind. Mit der Betrachtung dieser allgemeinen Eigenschaften, welche eine Folge des Newton'schen Gesetzes sind, werden wir uns zu beschäftigen haben. Zunächst bestimmen wir die Wirkung, welche eine Masse von endlicher Ausdehnung auf eine in einem Punkt concentrirte Masse ausübt. Es ist aber zweckmässig, vorläufig statt der Masse von endlicher Ausdehnung ein System einzelner, von einander getrennter, materieller Punkte zu betrachten. Dirichlet, Potentialtheorie. 1 Ineoren, zwische Arar durci, eine For onstant vorkommen. der Emner der Masse der Kraftemheit ist Langenheit erforderlich: L... mar auch eine Einheit - hat man auch eine beNachdem dies Alles ge er: Mas für die Kraft: Åraft, welche der Massen!ertheit, nachdem sie eine - ̧ni: gleicher Intensität ge- zwe Punkten concentrirte Lutternung von einander, so ist ir hratt. were auf m und unstant / ist offenbar diejenige „nemit. be. der Entfernung 1, auf »; ausübt, und hängt von der Wahl erhält man drei Reihen von Kräften von nmtliche Kräfte einer jeden Reihe dieselbe mithin durch Addition zu Einer Kraft zuwerden können. Jede der drei Componenten wenn man die zu zerlegende Kraft mit dem inkels multiplicirt, welchen sie mit der Richnach welcher zerlegt wird. Nennen wir die welche die Richtung Mm mit den drei Cobildet, a, ẞ, 7, so sind die drei den Coordirallelen Componenten der Kraft kMm in dem Punkte (x, y, z) stattfindende Kraft R welche ihre Richtung mit den drei erhält man aus den drei Componenten ZR cos v, 1* Drücken wir die nach dem Newton'schen Theorem zwischen zwei materiellen Punkten stattfindende Kraft durch eine Formel aus, so wird darin eine gewisse Constante vorkommen, welche abhängig ist von der Wahl der Einheit der Masse und der Kraft. Für die Bestimmung der Krafteinheit ist bekanntlich eine Zeit- und eine Längeneinheit erforderlich; nachdem diese festgesetzt sind, hat man auch eine Einheit für die Geschwindigkeit; ausserdem hat man auch eine beliebige Masseneinheit anzunehmen. Nachdem dies Alles gehörig bestimmt ist, hat man auch ein Mass für die Kraft: die Kraft P ist nämlich diejenige Kraft, welche der Masseneinheit die Geschwindigkeit P ertheilt, nachdem sie eine Zeiteinheit hindurch auf dieselbe mit gleicher Intensität gewirkt hat. Hat man nun zwei in zwei Punkten concentrirte Massen m und m', in der Entfernung von einander, so ist der Ausdruck für die Kraft, welche m auf m' und m' auf m ausübt; die Constante k ist offenbar diejenige Kraft, welche eine Masseneinheit, bei der Entfernung 1, auf eine andere Masseneinheit ausübt, und hängt von der Wahl der Einheiten ab. kmm' Es sei nun ein festes Massensystem gegeben und die Kraft zu bestimmen, welche dies System auf die in einem Punkte concentrirte Masse M ausübt. Die einzelnen Massen des Systems seien m, m', m"..., die Coordinaten derselben, bezogen auf drei beliebig gewählte auf einander senkrechte Coordinatenaxen, resp. a, b, c; a, b, c...., die Coordinaten von M`seien x, y, z; die Entfernungen zwischen M und m, m', m"... seien resp. r, r', r".... Die Kräfte, welche die einzelnen Massen m, m'... auf M ausüben, sind resp. Nach den Regeln der Statik, mit Hilfe des Kräfte parallelogramms, können alle Kräfte, welche auf einen Punkt wirken, zu Einer Kraft zusammengesetzt werden; aber es ist besser, nicht die erste Kraft mit der zweiten. zusammenzusetzen, dann deren Resultante mit der dritten u. s. w., sondern vorher alle einzelnen Kräfte nach drei auf einander senkrechten Richtungen in drei Componenten zu kMm kMm' '2 .... zerlegen. Dadurch erhält man drei Reihen von Kräften von der Art, dass sämmtliche Kräfte einer jeden Reihe dieselbe Richtung haben, mithin durch Addition zu Einer Kraft zusammengesetzt werden können. Jede der drei Componenten wird erhalten, wenn man die zu zerlegende Kraft mit dem Cosinus des Winkels multiplicirt, welchen sie mit der Richtung bildet, nach welcher zerlegt wird. Nennen wir die drei Winkel, welche die Richtung Mm mit den drei Coordinatenaxen bildet, a, ẞ, y, so sind die drei den Coordinatenaxen parallelen Componenten der Kraft kMm Werden die drei Componenten der Gesammtanziehung durch X, Y, Z bezeichnet, so hat man Die ganze in dem Punkte (x, y, z) stattfindende Kraft R und die Winkel 2, u, v, welche ihre Richtung mit den drei Coordinatenaxen bildet, erhält man aus den drei Componenten |