et par la combinaison des équations (h) et (i), on obtient ensuite:

Ainsi dans tout triangle, on a les cinq formules (h), (i) et (j), la quantité k représentant une même constante, réelle ou imaginaire simple, dans les cinq formules. Il reste à voir si k est aussi constant en passant d'un triangle à un autre.

Mais montrons d'abord qu'il n'y a pas d'exception pour k=0. Si l'équation (h) donnait cette valeur pour k, il en résulterait :

(cos A+ cos B cos C) sin2 B sin C,

équation qui est identique à l'une quelconque de ces deux

Les cinq équations existent donc encore, car dans les équations (i) on aurait soin de ne pas introduire le facteur parasite 472

Triangles rectangles. Si, dans les formules qui précèdent, 90o, on trouve :

on fait A

formules qui restent vraies pour toutes les valeurs de k, y compris la valeur zéro.

Considérons un triangle quelconque ABC, et du sommet C abaissons sur la base AB la perpendiculaire CD. Appelons respectivement A' et B' les angles ACD et BCD.

Si k et k' sont les coefficients respectifs des triangles ACD, BCD, on aura, dans ces triangles, en vertu des formules des triangles rectangles:

Mais, si l'on fait glisser le triangle le long de sa base AB, les points de la base ayant la vitesse v, et le point C la vitesse v perpendiculaire à CD (*), les vitesses des points A et C, décomposées suivant AC, seront respectivement v cos A et v' sin A';

(*) Admettre que v' = v équivaudrait à admettre le postulatum d'Euclide.

les vitesses de B et de C, décomposées suivant BC, seront de même v cos B et v' sin B'. On a donc :

En comparant à ce qui précède, on trouve:

Ainsi, dans deux triangles rectangles qui ont un côté de l'angle droit égal, le coefficient k est le même (*), car ces deux triangles pourront toujours être accolés comme l'étaient les deux triangles rectangles ACD et BCD.

Il en résulte d'abord que le coefficient k est le même dans tous les triangles rectangles, car deux triangles rectangles quelconques, ayant pour côtés de l'angle droit respectivement a et b, c et d, peuvent être comparés à un troisième triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit a et c, a et d, b et c, ou bet d.

Il en résulte aussi que le coefficient k est le même dans tous les triangles, parce que les formules des triangles quelconques peuvent se déduire de celles des triangles rectangles.

() Abstraction faite de son signe, lequel est toujours indifférent, comme les formules l'indiquent.

Nous allons achever maintenant ce qui se rapporte à l'hypothèse k = 0.

Considérons un triangle ABC, rectangle en A. L'angle A et le côté c restant constants, supposons que le côté b augmente de db, ce qui, en vertu de la décomposition des vitesses, entraîne pour le côté a une augmentation égale à db cos C.

Exprimons que la différentielle du second membre est nulle, en représentant provisoirement la dérivée inconnue de circ a par (a), et en remplaçant, après la différentiation, cos C par sa valeur + Il viendra, toutes réductions faites:

cire b
circ a

Ce double signé, qui apparaît pour la première fois, nous place en présence d'une difficulté apparente, qu'il ne faut pas dissimuler, mais bien réduire à sa juste valeur.

bet a sont indépendants l'un de l'autre, et la dérivée (a), que nous supposons finie, déterminée et continue, ne peut changer de signe qu'en passant par zéro. Si donc on ne prenait pas toujours le signe +, il faudrait admettre que la circonférence, qui croît d'abord avec son rayon, atteindrait un maximum et décroîtrait ensuite.

Sans nous prononcer, a priori, sur la possibilité de pareilles variations, observons que nous avons simplement pour objet, dans l'hypothèse k=0, d'établir la relation (8) entre les intervalles de cinq points de l'espace.

Or, nous avons admis que l'espace est homogène, en ce sens que la relation entre les intervalles est la même pour cinq

points quelconques. Si donc cette relation est établie rigoureusement pour cinq points à intervalles assez petits, elle sera établie aussi pour cinq points quelconques (*).

Nous pouvons donc prendre tous nos intervalles assez petits pour rester dans les limites où les circonférences augmentent certainement avec leur rayon, et dès lors l'on a, sans ambiguïté :

P(b) = p(a),

ou, ce qui revient au même :

(a): constante = c.

Intégrant entre 0 et a, il vient :

circ a = ca.

Il en résulte que, dans l'hypothèse k=0, non seulement le rapport de la circonférence au rayon a une limite c, mais, de plus, il reste constamment égal à cette limite. Comme nous l'avons appelée précédemment 2, nous écrirons :

circ a= Σπα.

Il est bon d'observer, en passant, que l'ambiguïté de signe, devant disparaître dans l'équation

(*) Il n'en serait pas de même si la relation n'était qu'approximative. Elle pourrait alors être l'expression-limite d'une relation plus compliquée.

TOME XLVII.

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