III 1. PRINCIPES DE LA GEOMÉTRIE.
EXPOSÉ PAR F. ENRIQUES (BOLOGNE).
1. Considérations générales sur les recherches mathématiques concernant les principes de la géométrie. Toutes les études critiques qui ont été faites jusqu'ici des principes de la géométrie sont intimement liées au développement systématique de la géométrie envisagée comme une science déductive.
Dans les fondements de la géométrie, tels qu'ils sont exposés dans Euclide1), on distingue trois sortes de propositions:
1°) Les définitions (ögo) qui, à vrai dire, nous apparaissent aujourd'hui comme de simples descriptions, mais qui, souvent, renferment de plus en elles des propositions fondamentales: il suffit de citer, à cet égard, la quatrième définition du livre 5 qui contient implicitement le postulat d'Archimède [no 13];
2o) Les axiomes (noival evvoiai) et les postulats (altýμata).
Entre ces deux sortes de propositions fondamentales existent des différences qu'au 5ième siècle de notre ère Proclus) envisage en les réduisant aux trois points de vue suivants:
a) Les postulats jouent par rapport aux axiomes le même rôle que les problèmes de construction par rapport aux théorèmes.
Par les postulats on affirme la possibilité d'effectuer certaines constructions premières, les autres constructions se ramenant toujours à celles-là. Par les axiomes on admet que certaines figures, dont on a obtenu la construction par postulat ou démonstration, jouissent de propriétés que d'ailleurs on ne démontre pas.
1) Voir en particulier l'édition critique d'Euclide, Elementa, livre 1; Opera, éd. J. L. Heiberg 1, Leipzig 1883, p. 2/11.
2) Procli Diadochi in primum Euclidis elementorum librum commentarii, éd. G. Friedlein, Leipzig 1873, p. 178.
Encyclop. des scienc. mathémat. III 1.