Page images
PDF
EPUB

de E-1, puisqu'ils échangent projectivement, et cela de la manière la plus générale possible, les "-1 droites qui sont issues du point fixe laissé invariant par le groupe. Ils peuvent en un certain sens être regardés comme les projections du groupe projectif général de E-1, projections faites d'un point fixe extérieur à E-1

Le groupe linéaire et homogène général de E-1 est, d'après cela, isomorphe mériédrique au groupe projectif général de E-1. Le groupe linéaire et homogène spécial de E, lui est au contraire isomorphe holoédrique, la relation d'isomorphisme étant d'ordre (n, 1): à chaque transformation du groupe. de E, correspond une transformation et une seule du groupe de E-1, mais à chaque transformation du groupe de E-1 correspondent n transformations du groupe de En

8. Groupes projectifs qui laissent invariantes des courbes ou des surfaces. Il existe une série de groupes projectifs continus et mixtes qui sont caractérisés par l'invariance d'une certaine figure (courbe, surface, etc.) et qui, par rapport à cette figure, peuvent être désignés sous le nom de groupes automorphes. Ces figures sont celles qui admettent une infinité de transformations projectives (formant nécessairement un groupe).

a) F. Klein et S. Lie se sont proposé dès 1870 la recherche de ce qu'ils appelaient les courbes W, c'est-à-dire les courbes qui admettent une famille continue de transformations projectives. Ils ont déterminé toutes les courbes W du plan et de l'espaces). Ces courbes sont les trajectoires des groupes projectifs à un paramètre). Dans l'espace E, les coordonnées homogènes x1, x2,...,xn+1 d'un point d'une courbe W sont des fonctions d'un paramètre variable t qui satisfont à un système d'équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre. Dans le cas général les équations en coordonnées non homogènes d'une courbe W peuvent se mettre sous la forme x1 2. Si une courbe West algébrique, elle est en même temps unicursale (de genre zéro). Si une courbe irréductible de l'espace E, qui n'est contenue dans aucune variété plane E-1, admet un groupe projectif à deux pa

=

[ocr errors]

=

42) F. Klein [Progr. Erlangen )] a posé le problème pour un groupe quelconque. Voir aussi F. Klein et S. Lie, Math. Ann. 4 (1871), p. 79/84.

43) C. R. Acad. sc. Paris 70 (1870), p. 1222, 1275; Math. Ann. 4 (1871), p. 50. 44) E. B. van Vleck [Trans. Amer. math. Soc. 13 (1912), p. 353] a étudié les groupes projectifs à un paramètre en partant d'une substitution linéaire et cherchant à quel groupe continu à un paramètre elle appartient. Il a déduit de ses recherches une classification des courbes réelles de l'espace E, qu'il partage en 16 types.*

ENCYCLOPÉDIE

DES

SCIENCES MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DES ACADÉMIES DES SCIENCES
DE GÖTTINGUE, DE LEIPZIG, DE MUNICH ET DE VIENNE
AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS.

ÉDITION FRANÇAISE

RÉDIGÉE ET PUBLIÉE D'APRÈS L'ÉDITION ALLEMANDE SOUS LA DIRECTION DE

[merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][graphic][merged small][merged small][subsumed][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small]

Sommaire.

Géométrie projective; exposé, d'après l'article allemand de A. Schoenflies - Francfort,
par A. Tresse - Paris
Configuration; exposé, d'après l'article allemand de E. Steinitz-Breslau par E. Merlin-
Gand

Pages

1

144

Avis.

Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande; dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.

Cette édition française offrira un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques. L'importance d'une telle collaboration, dont l'édition française de l'Encyclopédie offrira le premier exemple, n'échappera à personne.

Fascicules sous presse:

[ocr errors]

Addi

Tome I, vol. 1: Groupes finis discontinus, fin (H. Burkhardt - H. Vogt).
tions et modifications. Renseignements bibliographiques. Index.
Tome I, vol. 2: Invariants, fin (F. Meyer - J. Drach).
Tome I, vol. 3: Applications de l'Analyse à la Théorie des nombres, fin (P. Bachmann
J. Hadamard E. Maillet). Corps algébriques (D. Hilbert H. Vogt).
Multiplication complexe (H. Weber E. Cahen.)

[ocr errors]

[ocr errors]

Tome I, vol. 4: Économie politique mathématique, fin (V. Pareto). Jeux (W. Ahrens C. A. Laisant).

Tome II, vol. 1:

Tome II, vol. 2:

Tome II, vol. 3:

[merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]

Fonctions analytiques (W. F. Osgood P. Boutroux Fonctions sphériques, fin (A. Wangerin A. Lambert Fonctions sphériques à plusieurs variables (P. Appell A. Lambert). Tome II, vol. 5: Groupes continus de transformations (H. Burkhardt

E. Vessiot).

[ocr errors]

J. Chazy) P. Appell).

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small]

Tome II, vol. 6: Calcul des Variations, fin (A. Kneser E. Zermelo
M. Lecat).
Tome III, vol. 1: Notions de courbe et surface, fin (H. von Mangoldt
Méthodes analytiques et synthétiques (G. Fano S. Carrus).
énumérative (H. G. Zeuthen M. Pieri).
Tome III, vol. 3: Coniques, fin. Faisceaux de coniques (F. Dingeldey
Courbes planes algébriques (L. Berzolari).

Tome III, vol. 4: Quadriques (0. Staude A. Grévy).

F. Cosserat).

L. Zoretti).
Géométrie

E. Fabry).

E. Cosserat

E. Borel.)
Mécanismes

Tome IV, vol. 1: Principes de la mécanique rationnelle (A. Voss -
Mécanique statistique (P. et T. Ehrenfest
Tome IV, vol. 2: Cinématique, fin (A. Schoenflies G. Koenigs).
(Grübler-G. Koenigs). Statique graphique (L. Henneberg - H. Vergne).
Tome IV, vol. 3: Appareils physiques les plus simples (Ph. Furtwängler- A. Guillet).
Tome IV, vol. 5: Développements d'Hydrodynamique (A. E. H. Love P. Appel

[merged small][ocr errors]

Tome IV, vol. 6: Hydraulique, fin (Ph. Forchheimer A. Boulanger).
Tome IV, vol. 7: Équations fondamentales de l'élasticité (C. H. Müller

[blocks in formation]

L. Lecornu). Intégration des équations différentielles de l'élasticité (0.
Tedone R. Garnier).

Tome V, vol. 1: Mesure (C. Runge Ch. Ed. Guillaume).
Tome V, vol. 2: Atomistique (F. W. Hinrichsen M.Joly J. Roux).

[blocks in formation]

(L. Mamlock J.Roux). - Épures des cristaux (Th. Liebisch-F.Wallerant). Tome V, vol. 3: Principes physiques de l'électricité; action à distance (R. Reiff A. Sommerfeld E. Rothé).

Tome V, vol. 4: Principes physiques de l'optique; anciennes théories (A. Wangerin C. Raveau.)

Tome VI, vol. 1: Triangulation géodésique.

Déviation de la verticale (P. Pizzetti L. Noirel).
Tome VI, vol. 2: Marées océaniques et marées internes (G. H. Darwin

Mesure des bases et nivellement.

S. S. Hough

Mesure des angles (F.

Tome VII, vol. 1: Horloges et chronomètres (E. Caspari).

E. Fichot).

Cohn J. Mascart).

COPYRIGHT 1914 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

III 8. GÉOMÉTRIE PROJECTIVE.

EXPOSÉ, D'APRÈS L'ARTICLE ALLEMAND DE A. SCHOENFLIES (FRANCFORT), PAR A. TRESSE (PARIS).

Aperçu historique.

1. La projection centrale. C'est le développement des théories de la perspective qui a donné naissance à la géométrie projective. Du jour où, en effet, J. H. Lambert et G. Monge, en créant la géométrie descriptive, eurent substitué des principes et des règles générales aux règles empiriques qui constituaient jusqu'alors l'art de la perspective, une étude particulière de leurs méthodes de projection s'imposait naturellement. Mais, en réalité, l'usage effectif de la projection centrale remonte beaucoup plus haut.

Peut-être peut-on en voir un premier exemple dans les propositions" de Pappus1), où l'on trouve une étude de l'intersection de la surface hélicoïdale à plan directeur soit avec un cône de révolution autour de son axe soit avec un plan passant par une de ses génératrices, étude où intervient la projection de chacune de ces courbes sur un plan perpendiculaire à l'axe de l'hélicoïde. Plus tard G. Desargues introduisit dans l'art de la perspective une méthode rationnelle se rapprochant des procédés employés aujourd'hui dans la géométrie cotée; malheureusement ses idées, méconnues de son temps, restèrent sans influence; le mérite de les avoir soustraites à l'oubli 2) appartient en

1) Ces propriétés sont énoncées dans l'ouvrage de Pappus écrit au quatrième siècle de notre ère: Evvayoyǹ μaðŋuatıný (livre 4, prop. 28 et 29); Pappi Alexandrini collectio, éd. F. Hultsch 1, Berlin 1875, p. 259, 263. Cf. M. Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1o éd.): Mém. couronnés Acad. Bruxelles in 4o, 11 (1837), p. 30; (2o éd.) Paris 1875, p. 31; (3° éd.) Paris 1889, p. 31.*

2) Les ouvrages que G. Desargues a publiés lui-même sont les uns excessivement rares, les autres introuvables. Tous les exemplaires de son principal ouvrage [Brouillon proiect d'une atteinte aux événemens des rencontres d'un cone avec un plan, Paris 1639] semblent perdus et l'on ne connaît cet ouvrage que grâce à une copie qu'en avait prise Ph. de La Hire. L'édition originale d'un autre de ses ouvrages [Exemple de l'une des manieres universelles du S. G. D. L. touchant la pratique de la perspective sans emploier aucun tiers point, de distance ny d'autre nature, qui soit hors du champ de l'ouvrage, Paris 1636] a longtemps été introuvable et jusqu'en 1885 on ne le connaissait que par une réimEncyclop. des scienc. mathémat. III 2.

1

premier lieu à un contemporain de G. Desargues, le graveur et géomètre A. Bosse3), qui en 1648 a reproduit la Perspective 2) de 1636 et en 1665 s'en est occupé à nouveau).*

A la même époque, B. Pascal5) démontrait son théorème sur l'hexagone en considérant une conique comme la projection d'un cercle.

Un peu plus tard, Ph. de La Hire) et J. F. Le Poivre) étudiaient encore les propriétés projectives des coniques en se plaçant au point de vue d'Apollonius, consistant à regarder toute conique comme une section plane d'un cône à base circulaire.*

L'introduction de la notion de point à l'infini devait être d'une importance considérable dans les représentations projectives des figures. Déjà vers 1600, Guidobaldo del Montes) enseigne que, dans une projection centrale, des droites parallèles sont représentées par des droites concourant en un même point (point de fuite); puis, quarante ans après seulement, G. Desargues) considère des droites parallèles comme passant par un même point à l'infini; beaucoup plus tard enfin, au 18ième siècle dans les travaux de B. Taylor 10) et de J. H. Lambert11), la ligne de fuite d'un plan apparaît comme étant le lieu de tous ses points de fuite 12). C'est à partir de cette époque que l'on rencontre divers essais d'application systématique de ce procédé qui, dans le but de simplifier une pression faite en 1648 par A. Bosse [cf. G. Eneström, Bibl. math. (1) 2 (1885), col. 89/90; P. Tannery, Bull. sc. math. (2) 14 (1890), p. 245] (Note de G. Eneström).* 3) A. Bosse, Manière universelle de M. Desargues pour pratiquer la perspective par petit-pied, comme le géométral, Paris 1648; Traité des pratiques géométrales et perspectives, Paris 1665.*

*

4) Les ouvrages de G. Desargues ont été réunis et publiés par N. G. Poudra [Œuvres de Desargues 1, Paris 1864; 2, Paris 1864]. Voir aussi St. Chraszczewski, Archiv Math. Phys. (2) 16 (1898), p. 119/49; F. Amodeo, Rendic. Accad. Napoli (3) 12 (1906), p. 232/62 (Note de G. Eneström).*

5) Essay pour les coniques, petit placard en forme d'affiche, imprimé à Paris en 1640. Voir B. Pascal, Œuvres, éd. L. Brunschvicg et P. Boutroux 1, Paris 1908, p. 254.*

6) Nouvelle méthode en géométrie pour les sections des superficies coniques et cylindriques, Paris 1673, p. 15 et suiv.; Sectiones conicae in novem libros distributae, Paris 1685, livre 2.*

7) Traité des sections du cylindre et du cône, Paris 1704, p. 6, 28.*

*

8) Perspectiva, Pise 1600.*

9) Exemple de l'une des manieres universelles *).*

10) Linear perspective, Londres 1716; (2 éd.) New principles of linear perspective, Londres 1719.*

11) Freye Perspective, oder Anweisung jeden perspectivischen Aufriss von freyen Stücken und ohne Grundriss zu verfertigen, Zurich 1759; (2o éd.) Zurich 1774.*

12) Pour plus de détails voir Chr. Wiener [Lehrbuch der darstellenden Geometrie 1, Leipzig 1884, p. 5/61] et G. Loria, „Perspektive und darstellende Geometrie dans M. Cantor, Vorles. Gesch. Math. 4, Leipzig 1908, p. 577/637

« PreviousContinue »