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Remarquons encore que, si tous les points d'une configuration g sont similaires deux à deux et si n n'est pas un multiple de 3, la configuration est régulière. Au contraire, dans le cas où n est multiple de 3, la configuration contient une, deux ou trois espèces de droites. existe deux espèces de droites, l'une contient droites l'autre

n

3

S'il·

2n

3

12

S'il y a des droites de trois espèces, chacune de celles-ci contient 3 droites. En partant de configurations planes [(3v)2, (2 v),], E. Steinitz 25) réalise des configurations entrant dans les deux derniers cas. Dans le second cas, l'exemple le plus simple est fourni par une configuration 18. Dans le troisième se rencontre une configuration 243 ̧.* Enfin parmi les configurations régulières n,, il en est qui ne sont pas réciproques à elles-mêmes 26).

4. Propriétés géométriques des configurations ng et des configurations n. La configuration schématique 7, est irréalisable géométriquement. Le schéma de la configuration 8, montre que celle-ci est formée de deux quadrilatères inscrits et circonscrits l'un à l'autre.

A.F. Möbius27) fit remarquer, dès 1828, que cette figure géométrique ne saurait être complètement réelle. Toutefois il existe une configuration imaginaire correspondant au tableau schématique, les quatre diagonales des deux quadrilatères s'y coupent en un même point. Si l'on joint à ce système les quatre diagonales et leur point commun, on obtient une configuration (94, 123) [Voir no 5].

Les trois configurations 9, sont représentables par des constructions géométriques réelles 28).

Parmi les dix configurations schématiques 10,, neuf sont géométriques 29), tandis que toutes les configurations 11, le sont et admettent des représentations réelles. Il semble que cette propriété des configurations 11, s'étende à tous les cas pour lesquels n > 10. Toutefois la proposition n'est pas démontrée. En ce qui regarde la construction même, V. Martinetti 30) montra, en s'appuyant sur la décomposition des configurations ng en ensembles de polygones, qu'elle se ramène toujours à la détermination des points doubles de deux ponc

25) Archiv Math. Phys. (3) 16 (1910), p. 289/313.

26) E. Steinitz, id. p. 308/10.

27) J. reine angew. Math. 3 (1828), p. 276; Werke 1, Leipzig 1885, p. 437. 28) S. Kantor, Sitzgsb. Akad. Wien 84 II (1881), p. 915; H. A. Schwarz [Sitzgsb. Akad. Berlin 1912, p. 307] a montré que chaque configuration 9, peut être construite de façon à pouvoir être ramenée à elle-même par une rotation de 120°. 29) H. Schröter, Nachr. Ges. Gött. 1889, p. 193.

30) Ann. mat. pura appl. (2) 15 (1887/8), p. 2.

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tuelles projectives de même base, et, par suite, peut être réalisée au moyen de la règle et du compas. Un grand nombre de configurations n ne nécessitent même que l'emploi de la règle seule. Tel est le cas pour les trois configurations 9,, pour les configurations qui admettent une représentation formée de cycles de triangles, dont chacun est circonscrit au suivant, pour les configurations irréductibles de la seconde classe, ainsi que pour quelques configurations 10,, 11,, etc. D'ailleurs, parmi les configurations qui exigent, en général, l'emploi de la règle et du compas, se présentent des cas particuliers pour lesquels la règle seule suffit.

H. Schröter 1) a établi que les configurations irréductibles de la première classe, de même que les configurations 10,, peuvent être construites en s'appuyant sur des propriétés connues des courbes du troisième ordre. La méthode de H. Schröter peut être généralisée 32) et appliquée à la plupart des configurations n.

Nous terminerons ce numéro par quelques considérations relatives aux configurations n. E. Merlin 3) a publié sur ce sujet un mémoire récent que nous résumerons brièvement ici. Tout d'abord, il n'existe qu'une seule configuration schématique 13, ainsi qu'une seule configuration schématique 14, lesquelles ne sont pas réalisables géométriquement. Quant aux configurations schématiques 15, on en distingue trois espèces suivant qu'il existe cinq, un, ou qu'il n'existe aucun triangle dont les côtés appartiennent à la configuration et dont les sommets sont des points diagonaux. Elles ne sont pas géométriques et jouissent avec les deux précédentes de la propriété suivante, laquelle est commune à toutes les configurations n,, ainsi que l'a démontré E. Steinitz 32). Il est possible d'écrire le tableau représentatif de telle manière que chaque ligne horizontale contienne tous les nombres de 1 à 15, employés pour désigner les points. Nous avions vu plus haut que cette propriété appartient également aux configurations n,.*

En vertu d'une remarque faite au n° 2, une configuration (ps, dr) n'est en général réalisable géométriquement, que si l'on satisfait à l'inégalité

2(p+ d) pd - 8 ≥ 0,
-

laquelle n'est pas vérifiée dans le cas des configurations n (p = d = n, 84). On pourrait être tenté de conclure qu'il existe peu de configurations géométriques n. Il n'en est rien. Bien au contraire,

31) Nachr. Ges. Gött. 1888, p. 237; id. 1889, p. 193.

32) E. Steinitz, Diss. Breslau 1894.

33) Acad. Belgique, Buil. classe sc. 1913, p. 647.*

on

peut montrer qu'il existe une infinité de configurations géométriques n, ce qui rend ces dernières particulièrement intéressantes. En effet, partant de ce que toute configuration (Ps, d) donne naissance à une infinité de configurations de symbole

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on démontre que, de toute configuration (ps, d) dont les indices 8, ne dépassent pas 4, on déduit une configuration n. Par exemple, toute configuration ng conduira à une configuration 16n; la configuration [(2n),, n1], que l'on réalise aisément au moyen d'un polygone de n côtés, en adjoignant aux n côtés les n sommets et les n points d'intersection des côtés pris de deux en deux, mène à une configuration 32n. D'une manière analogue, les configurations (94, 123) et (12, 16,), étudiées au no 5, conduisent respectivement à des configurations 48, et 644.

Enfin, généralisant le procédé employé par V. Martinetti dans la recherche des configurations n,, on trouve que, de toute configuration n pour laquelle il existe trois droites se coupant deux à deux en des points étrangers à la configuration, et telles que l'un des triangles ayant ses sommets respectivement sur ces trois droites ait ses côtés étrangers à la configuration, on déduit une configuration (n + 1)· Soient en effet

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les trois colonnes représentant trois droites de l'espèce considérée et les côtés du triangle ABC, étant étrangers à la configuration. Si l'on remplace ces trois colonnes par les quatre suivantes:

1

A A A A

A1 A, B2 C2

B1 A B C

C1 A B C1

on aura ajouté une colonne et un point, tout en continuant à satisfaire aux conditions du tableau schématique. On a là un procédé permettant de construire une infinité de configurations n; car il est facile de voir que, pour des valeurs de n supérieures ou égales à trente, la configuration contient au moins trois droites satisfaisant aux conditions énoncées plus haut 33).*

J

ENCYCLOPÉDIE

DES

SCIENCES MATHÉMATIQUES

PURES ET APPLIQUÉES

PUBLIEE SOUS LES AUSPICES DES ACADÉMIES DES SCIENCES

DE GÖTTINGUE, DE LEIPZIG, DE MUNICH ET DE VIENNE
AVEC LA COLLABORATION DE NOMBREUX SAVANTS.

ÉDITION FRANÇAISE

RÉDIGÉE ET PUBLIÉE D'APRÈS L'ÉDITION ALLEMANDE SOUS LA DIRECTION DE
JULES MOLK,

PROFESSEUR À L'UNIVERSITÉ DE NANCY.

TOME III (TROISIÈME VOLUME),

GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE PLANE

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Coniques; exposé, d'après l'article allemand de F. Dingeldey-Darmstadt par E. FabryMontpellier

1

Avis.

Dans l'édition française, on a cherché à reproduire dans leurs traits essentiels les articles de l'édition allemande; dans le mode d'exposition adopté, on a cependant largement tenu compte des traditions et des habitudes françaises.

Cette édition française offrira un caractère tout particulier par la collaboration de mathématiciens allemands et français. L'auteur de chaque article de l'édition allemande a, en effet, indiqué les modifications qu'il jugeait convenable d'introduire dans son article et, d'autre part, la rédaction française de chaque article a donné lieu à un échange de vues auquel ont pris part tous les intéressés; les additions dues plus particulièrement aux collaborateurs français sont mises entre deux astérisques. L'importance d'une telle collaboration, dont l'édition française de l'Encyclopédie offrira le premier exemple n'échappera à personne.

Fascicules sous presse:

Tome I, vol. 1: Groupes finis discontinus, fin (H. Burkhardt H. Vogt).
Renseignements bibliographiques. - Index.

tions et modifications.

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Tome I, vol. 2: Invariants, suite (F. W. Meyer - J. Drach).

Addi

Tome I, vol. 3: Applications de l'Analyse à la Théorie des nombres, fin (P. BachmannJ. Hadamard E. Maillet).

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1

Tome I, vol. 4: Statistique, fin (L. von Bortkiewicz F. Oltramare). Assurances (G. Bohlmann H. Poterin du Motel). Économie politique (V. Pareto). Tome II, vol. 1: Recherches contemporaines sur la théorie des fonctions d'une ou de plusieurs variables réelles (E. Borel L. Zoretti - P. Montel - M. Fréchet). Calcul différentiel (A. Voss - J. Molk).

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Tome II, vol. 4: Équations aux dérivées partielles (E. von Weber

E. Goursat).

Tome II, vol. 5: Équations fonctionnelles (S. Pincherle).

métrique (H. Burkhardt E. Esclangon).

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Tome II, vol. 6: Calcul des variations (A. Kneser M. Lecat).
Tome III, vol. 1: Notions de courbe et surface fin (H. von Mangoldt
Tome III, vol. 2: Géométrie projective (A. Schoenflies A. Tresse).
Tome III, vol. 4: Quadriques (O. von Staude - A. Grévy).
Tome IV, vol. 2: Fondements géométriques de la mécanique (H. Timerding-L. Lévy).
Tome IV, vol. 5: Analyse vectorielle (M. Abraham P. Langevin). Principes
physiques de l'hydrodynamique (A. E. H. Love P. Appell H. Beghin).
Tome IV, vol. 6: Balistique extérieure (C. Cranz E. Vallier).
Tome V, vol. 1: Mesure (C. Runge Ch. Ed. Guillaume).
Tome V, vol. 2: Atomistique (F. W. Hinrichsen E. Study
Tome V, vol. 3: Principes physiques de l'électricité; action à distance (R. Reiff
A. Sommerfeld E. Rothé).

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Tome V, vol. 4: Principes physiques de l'optique; anciennes théories (A. Wangerin C. Raveau.)

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Tome VI, vol. 1: Géodésie théorique (P. Pizzetti L. Noirel).

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Tome VII, vol. 1: Coordonnées absolues et relatives (E. Anding H. Bourget). Réfraction (A. Bemporad - P. Puiseux).

.COPYRIGHT 1911 BY B. G. TEUBNER IN LEIPZIG.

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