s'ils coïncident) nous dirons alors que ces éléments sont conjugues. Des points et des plans conjugués sont polaires réciproques; mais, deux droites conjuguées ne sont pas en général polaires réciproques, tandis que deux droites polaires réciproques sont conjuguées.*

Ainsi, dans un tétraèdre autopolaire, les sommets, les faces sont à la fois conjugués et polaires réciproques, deux arêtes sont conjuguées, mais deux arêtes opposées seules sont polaires réciproques.*

58. Système polaire singulier. Relativement au cône du second degré, tout point de l'espace autre que le sommet a un plan polaire qui passe par le sommet; un plan ne peut avoir de pôle que s'il passe par le sommet du cône;* il en a alors une infinité (multiplicité simple), situés sur une droite issue du sommet.

Un tel système établit une correspondance univoque entre droite et plan issus d'un point fixe (droite polaire et plan polaire); il lui correspond dualistiquement un système polaire plan; les auteurs allemands lui ont donné le nom de gerbe polaire (Polarbündel).

M. Chasles $71) l'a étudié synthétiquement et indépendamment de la réciprocité polaire générale; L. I. Magnus372) en a fait l'étude analytique, en le considérant comme cas particulier de la corrélation réciproque générale (réciprocité conique).

Le système relatif au cône isotrope [10, p. 16] a été désigné par L. I. Magnus 378) et K. G. Chr. von Staudt $74) sous le nom de système orthogonal (orthogonales Polarbündel); il détermine sur le plan de l'infini un système polaire plan relatif à l'ombilicale.

La réciprocité polaire définie par un couple de plans établit une correspondance involutive entre faisceaux de plans $75); elle fait correspondre, à un point non situé sur la droite D commune aux plans du couple, un plan passant par D; à un plan passant par D correspond une infinité de points situés dans un même plan (multiplicité double)." La réciprocité polaire propre détermine 376) relativement à un point une gerbe polaire, en faisant correspondre à toute droite issue du point un plan qui passe par le point et la conjuguée de la

371) Sur les propriétés générales des cônes du second degré, Nouv. Mém. Acad. Bruxelles 6 (1830), mém. no 11 (no 10 d'après la Table), p. 33.

372) Aufgaben aus der analyt. Geom.7) 2, p. 145; K. G. Chr. von Staudt, Geom. der Lage 46), p. 211; Von den Halbmessern 198), p. 36.

373) Aufgaben aus der analyt. Geom.7) 2, p. 149.

374) Geom. der Lage 46), p. 210.

375) Sur le système polaire relatif à un couple de plans, voir Th. Reye, Geom. der Lage 307), (3o éd.) 2, p. 137; tråd. O. Chemin 2, p. 71. 376) K. G. Chr. von Staudt, Geom. der Lage 46), p. 191.

droite; le cône directeur est alors le cône circonscrit à la quadrique.* Elle détermine sur un plan P une réciprocité polaire plane en faisant correspondre à un point du plan la trace du plan polaire de ce point par rapport à la quadrique; cette trace est la polaire du point par rapport à la section de la quadrique par le plan P.* Elle détermine relativement à une droite une correspondance involutive entre points de cette droite ou entre plans passant par cette droite; à un point de la droite correspond le point où cette droite rencontre le plan polaire du premier et à un plan passant par la droite correspond le plan déterminé par le pôle du premier et par la droite; on peut aussi établir cette correspondance simplement par points conjugués ou par plans conjugués.*

59. Tétraèdre autopolaire. J. V. Poncelet $77) fut conduit à la notion de tétraèdre autopolaire ou conjugué par rapport à une quadrique (tétraèdre dont chaque sommet est le pôle de la face opposée), en cherchant les cônes qui font partie d'un faisceau ponctuel. J. Plücker 878) a déterminé la multiplicité (d'ordre six) des tétraèdres autopolaires par rapport à une quadrique propre, considérée isolément; il a mis en évidence le fait que leur détermination est un problème identique à celui de la tranformation en une somme de quatre carrés du premier membre de l'équation ponctuelle ou de l'équation tangentielle de la surface. Le premier membre de l'équation en coordonnées pluckériennes relatives à un tétraèdre autopolaire ne contient que les carrés des six coordonnées.

Dans le cône 379), le tétraèdre autopolaire est remplacé par un triedre polaire, dont chaque arête est le lieu des pôles du plan des deux autres;* dans les surfaces singulières de seconde classe, il est remplacé par un triangle autopolaire. Un trièdre autopolaire du cône isotrope est trirectangle et un triangle autopolaire de l'ombilicale définit trois directions rectangulaires deux à deux.

Une quadrique Q circonscrite à un tétraèdre conjugué par rapport à une quadrique est dite harmoniquement circonscrite à Q';* relativement à de telles quadriques, L. O. Hesse a établi les deux propositions suivantes:

377) Propriétés projectives 1), (1o éd.) p. 395.

378) J. reine angew. Math. 24 (1842), p. 285; Wiss. Abh. 1, Leipzig 1895, p. 399; System der Geom. des Raumes 32), p. 88; voir C. G J. Jacobi, J. reine angew. Math. 53 (1857), p. 265; Werke 3, Berlin 1884, p. 583; S. Gundelfinger, dans L. O. Hesse, Analyt. Geom. des Raumes 16), p. 449; G. Papelier, Coord. tangent.69) 2, p. 198.*

379) J. Plücker, System der Geom. des Raumes 32), p. 93, 97; voir les théorèmes sur les séries de trièdres autopolaires dans K. G. Chr. von Staudt, Von den Halbmessern 123), p. 36.

I. Si une quadrique Q passe par les sommets d'un tétraèdre conjugué par rapport à une quadrique Q, tout point de Q est sommet d'un tétraèdre conjugué par rapport à Q'et inscrit à Q 380).

II. Par les huit sommets de deux tétraèdres autopolaires par rapport à une quadratique Q, il passe une double infinité de quadriques; toute quadrique qui passe par sept de ces sommets passe par le huitième 381).

A ces deux théorèmes en correspondent deux autres que l'on déduit des deux premiers par dualité 382).*

Un cas particulier du second théorème fournit cette intéressante proposition 383):

Si deux tétraèdres autopolaires par rapport à une quadrique ont un sommet commun, les six arêtes issues de ce sommet sont sur un cône du second ordre,

d'où l'on déduit le théorème suivant dû à A. Göpel 384):

Deux systèmes de trois diamètres conjugués d'une quadrique appartiennent à un même cône du second ordre

et celui-ci dû à J. Steiner 385):

Deux systèmes de trois rayons deux à deux orthogonaux appartiennent à un cône équilatère du second ordre [no 26].

380) L. O. Hesse, J. reine angew. Math. 45 (1853), p. 90; Werke, Munich 1897, p. 305; E. Duporcq, Géom. moderne 361), p. 101.* Sur les sphères harmoniquement circonscrites à une quadrique, voir K. G. Chr. von Staudt [Von den Halbmessern 195), p. 56], H. Faure [Nouv. Ann. math. 1 (19) (1860), p. 234, 294, 347] qui a montré que ces sphères forment un complexe linéaire de sphères, Th. Reye [J. reine angew. Math. 78 (1874), p. 345] et E. Study [id. 94 (1883), p. 223].

381) L. O. Hesse, J. reine angew. Math. 20 (1840), p. 297; Werke, Munich 1897, p. 39; Analyt. Geom. des Raumes 16), p. 197; la première démonstration synthétique est due à K. G. Chr. von Staudt, Beiträge zur Geometrie der Lage, fasc. 3, Nuremberg 1860, p. 372; P. Serret [J. math. pures appl. (2) 7 (1862), p. 377; Géom. de direction 14), p. 317] donne une démonstration fondée sur l'emploi des coordonnées polyédriques; voir Th. Reye, J. reine angew. Math. 82 (1877), p. 66; J. N. Bischoff, Ann. mat. pura appl. (2) 6 (1873/5), p. 232; H. R. Baltzer, Analyt. Geom.95), p. 499; G. Papelier, Coord. tangent.69) 2, p. 200; E. Duporcq, Géom. moderne 361), p. 103.* Cl. Servais, Acad. Belgique classe sc., Mémoires in 8°, (2) 1 (1904/6), mém. no 2, p. 49.*

*

382) L. O. Hesse, J. reine angew. Math. 20 (1840), p. 301; Werke, Munich 1897, p. 197; Analyt. Geom. des Raumes 16), p. 197; O. Staude, Analyt. Geom. der Fläche zweiter Ordnung 99), p. 854.

383) L. O. Heɛse, Analyt. Geom. des Raumes 1o), p. 204.

384) Archiv Math. Phys. (1) 4 (1844), p. 205; L. O. Hesse, J. reine angew. Math. 18 (1838), p. 107; Werke, Munich 1897, p. 8; M. Chasles, J. math. pures appl. (1) 2 (1837), p. 400; H. R. Baltzer, Analyt. Geom.95), p. 506.

385) Syst. Entw.85), p. 313, Werke 1, p. 452.

60. Polygones autopolaires. Dans un tétraèdre autopolaire considéré comme système de quatre points, un point est le pôle d'une face, c'est-à-dire du plan déterminé par les trois autres points.

On a étendu cette notion à un ensemble de plusieurs points. Un pentagone gauche autopolaire est tel que chaque côté contient le pôle du plan déterminé par les trois points non situés sur ce côté; un hexagone gauche autopolaire est tel que le plan, qui contient trois sommets, passe par le pôle du plan qui contient les trois autres sommets.

Dans tous les cas, deux plans qui contiennent dans leur ensemble tous les sommets sont conjugués par rapport à la quadrique.

P.Serret 386) à été conduit à considérer de tels polygones par l'emploi des coordonnées polygonales et polyédriques. Plus tard Th. Reye 387) a étudié d'une façon systématique les polygones autopolaires en général. On appelle système conjugué de droites (konjugiertes System) un ensemble de droites tel que chacune d'elles est conjuguée (au sens de K. G. Chr. von Staudt) [no 57] de toutes les autres. J. Rosanes 388) a montré qu'un tel système contenait au plus six droites.

Aux tétraèdres autopolaires correspondent dans la géométrie réglée les systèmes de six complexes linéaires qui sont deux à deux en involution 389).

61. Le complexe des axes d'une quadrique. Th. Reye désigne sous le nom d'axe d'une quadrique la perpendiculaire menée d'un point sur son plan polaire; un axe est aussi une droite perpendiculaire à sa polaire réciproque. Les axes d'une quadrique forment, au point de vue de la géométrie réglée de J. Plücker, un complexe que l'on appelle le complexe des axes.

L'origine de la théorie des axes remonte à J. P. M. Binet 390); il a montré que les axes principaux d'inertie d'un système solide relatifs aux divers points de l'espace sont les normales (d'une multiplicité d'ordre trois) d'un système de quadriques homofocales, qui ont pour centre commun le centre de gravité du solide et pour axes de symétrie les axes principaux d'inertie relatifs à ce centre de gravité. A. M. Ampère 391) reconnut que celles de ces normales qui passent par un point sont situées 386) Géom. de direction 14), p. 56. Sur les coordonnées polygonales et polyédriques, voir E. Bobillier, Ann. math, pures appl. 18 (1827/8), p. 324; J. Plücker, J. reine angew. Math. 5 (1830), p. 31; Wiss. Abh. 1, Leipzig 1895, p. 153; O. Hermes, J. reine angew. Math. 56 (1859), p. 249.

387) J. reine angew. Math. 77 (1874), p. 269.

388) Math. Ann. 23 (1884), p. 416.

*

389) F. Klein, Math. Ann. 2 (1870), p 198; G. Kanigs, Géom. réglée 13), p. 92.* 390) J. Éc. polyt. (1) cah. 16 (1813), p. 41.

391) Mém. Acad. sc. Institut France (2) 5 (1821/2), éd. 1826, p. 99.

sur un cône équilatère, qui est le cône du complexe. D'après C. G. J. Jacobi 392), ces normales sont les axes de symétrie des cônes circonscrits à ces surfaces homofocales et, d'après M. Chasles 393), chacune est le lieu du pôle d'un plan fixe par rapport à ces quadriques. Du résultat trouvé par A. M. Ampère, M. Chasles déduisit par dualité que les normales situées dans un plan sont tangentes à une parabole 394) (courbe du complexe). Le complexe des axes d'une quadrique coïncide avec celui des normales à un système de quadriques homofocales à la première, ainsi qu'avec celui des axes de symétrie des sections planes de cette quadrique; il n'est qu'un cas particulier du complexe tétraédral 395).

Les segments déterminés sur les axes d'une quadrique à centre par les plans principaux de cette quadrique ont des rapports constants. Les normales d'une quadrique [n°35] appartiennent au complexe de ses axes; elles forment une congruence du sixième ordre et de seconde classe. Elles ont été étudiées à ce point de vue par Th. Reye 396) et R. Sturm 7).

62. Surfaces des centres de courbure, surfaces parallèles, surfaces dérivées. G. Monge 398) a rattaché l'étude du lieu des centres de courbure à l'étude des normales; l'équation de ce lieu a été donnée par G. Salmon 399). Un modèle de cette surface, construit par H. A. Schwarz, fut modifié par E. E. Kummer 100).

392) J. reine angew. Math. 12 (1834), p. 137/40; Werke 7, Berlin 1891, p. 7/10; M. Chasles, Aperçu hist.11), (2e éd.) p. 387.

393) Aperçu hist.41), (2e éd.) p. 397, 399.

394) M. Chasles, J. math. pures appl. (1) 4 (1889), p. 350.

395) Th. Reye, Geom. der Lage 307), (1re éd.) 2, p. 147; trad. O. Chemin 2, p. 184; Ann. mat. pura appl. (2) 2 (1868/9), p. 1; voir G. Darboux, Bull. sc. math. (1) 2 (1871), p. 41, 301; E. Schilke, Z. Math. Phys. 19 (1874), p. 550; A. Mannheim, Assoc. fr. avanc. sc. 6 (Le Hâvre) 1877, p. 167; E. Waelsch, Sitzgsb. Akad. Wien 95 II (1887), p.781; Cl. Servais, Mathesis (3) 3 (1903), p.185/92; G. Kilbinger [Progr. Mulhouse 1896] a étudié le complexe des axes des quadriques de révolution. Sur le rôle du complexe des axes dans la théorie des axes permanents de rotation, voir J. Hadamard, Assoc. fr. avanc. sc. 24 (Bordeaux) 1895, p. 175; 0. Staude, Ber. Ges. Lpz. 51 (1899), math. p. 219; K.Zindler, Festschrift L. Boltzmann, Leipzig 1904, p. 34; pour l'historique voir Th. Reye, Geom. der Lage 307), (3o éd.) 2, p. 147; trad. O. Chemin 2, p. 184; E. Kötter, Jahresb. deutsch. Math.-Ver. 5a (1896), Leipzig 1901. p. 403; O. Staude, Analyt. Geom. der Fläche zweiter Ordnung 99), p. 459/69.

396) Geom. der Lage 307), (3° éd.) 2, p. 142; (3o éd.) 3, Leipzig 1892, p. 44; trad. O. Chemin 2, p. 191; J. reine angew. Math. 93 (1882), p. 81.

397) Liniengeometrie 195) 1, p. 374; voir aussi O. Böklen, J. reine angew. Math. 96 (1884), p. 169.

398) Applic. de l'analyse à la géom.176), (5o éd.) p. 124.

399) Quart. J. pure appl. math. 2 (1858), p. 217.

400) Monatsb. Akad. Berlin 1862, p. 426; Abh. Akad. Berlin 1866, math. Abh. p. 94; voir d'autres modèles dans W. von Dyck, Katalog 149), p. 282.