Nouveaux progrès. parer les racines utiles d'avec celles qui doivent être rejetées; mais, en employant la méthode synthétique, ils parvinrent, chacun de leur côté, à une analogie très-simple et très-commode pour le calcul astronomique. La place de professeur de mathématiques en l'université de Bâle, qu'occupait Jacques Bernoulli, valut à ses élèves et au public un excellent traité sur la sommation des suites; la première partie avait paru en 1689, la seconde fut publiée en 1692. IX. Toutes les parties de la nouvelle géométrie marchaient rapidement. Les problèmes volaient de tous côtés; et les journaux étaient devenus une espèce d'arène savante, où l'on voyait combattre les plus grands géomètres du temps, Huguens, Leibnitz, les frères Bernoulli, Neuton, et le marquis L'HOPITAL, de l'Hopital qui y soutint dignement, pendant plumort en 1704. sieurs années, l'honneur de la France. né en 1661, Le problème suivant, proposé par Jean BerAn 1693. noulli : trouver une courbe telle que le's tangen tes terminées à l'axe fussent en raison donnée avec les parties de l'axe, comprises entre la courbe et ces tangentes, fut résolu par Huguens, Leibnitz, Jacques Bernoulli et le marquis de l'Hopital; mais tous se contentèrent de donner de simples constructions sans démonstrations. Huguens rendit à ce sujet un témoignage d'autant plus honorable aux nouveaux calculs, que ce grand homme ayant fait plusieurs sublimes découvertes sans ces calculs, pouvait être dispensé d'en célébrer les avantages; il avoue qu'il voyait avec surprise et admiration l'étendue et la fécondité de cet art; que de quelque côté qu'il tournát la vue, il en découvrait de nouveaux usages, et qu'enfin il y concevait un progrès et une spéculation infinie. Quel malheur qu'il ait été enlevé aux sciences dans un âge où, avec le secours de ce nouvel instrument, il pouvait encore leur rendre tant d'importans services! né en 1651 mort en 1708 Tschirnaus avait fait connaître, depuis quelques TSCHIRNAS, années, les fameuses courbes appelées caustiques; elles sont formées, comme on sait, par le concours des rayons de lumière qu'une autre courbe donnée a réfléchis ou rompus. Sans autre secours que celui de la géométrie ordinaire, il en avait découvert plusieurs belles propriétés, comme, par exemple, qu'elles sont égales à des lignes droites, quand les courbes qui les produisent sont géométriques. L'analyse infinitésimale facilita extrêmement toutes ces recherches, et Jacques Bernoulli les. poussa très-loin, principalement la théorie des caustiques par réfraction. L'abondance des matières, et les bornes de cet ouvrage, me forcent de passer sous silence plu t. 111, p. 296. sieurs autres mémoires du même Jacques Bernoulli sur divers sujets de géométrie, de mécanique, d'hydraulique, etc.; jomets également les réflexions de Leibnitz sur la manière de résoudre les problèmes des quadratures, par la construction de certaines courbes qu'il décrit par des mouvemens assujétis à des lois données. La description de la tractoire est un exemple de ces mouvemens; et c'est en effet à l'occasion de cette courbe, dont Claude Perrault lui avait demandé la nature, que Leibnitz proposa ses remarques où l'on reconnaît sa subtilité ordinaire. Je reviendrai dans la suite à un autre écrit de Leibn. Op. Leibnitz, intitulé: Nova calculi differentialis applicatio, où se trouve le germe de ces équations qu'on appelle aujourd'hui solutions singulières ou intégrales particulières. X. Il paraît que dans ces commencemens, les géomètres ne connaissaient pas, au moins distinctement, la nécessité d'ajouter des constantes arbitraires aux intégrales des équations différentielles, afin de donner aux solutions toute la généralité dont elles peuvent être susceptibles. J'ai déjà reJacq. Bern, marqué que Jacques Bernoulli avait trouvé, en 1694, la solution du problème de la courbe isochrone ordinaire : cette solution est le premier Op. pag. 423. exemple qu'on ait de l'intégration d'une équation différentielle; mais l'auteur n'ajouta point de constante à l'intégrale. En 1695, il intégra, avec la Ibid. pag. 625. même omission, l'équation différentielle de la courbe d'équilibration dans les ponts-levis. Op. tom. 1, Jean Bernoulli, dans sa dissertation de Motu Joh. Bern. musculorum, donnée en 1690, intègre aussi une pag. 108. équation différentielle, sans l'addition de la cons tante. Cette même année 1694, Jacques Bernoulli résolut le problème de la courbe isochrone paracentrique, sans ajouter de constante à l'intégrale. Leibnitz, qui avait proposé et résolu ce problème depuis long-temps, en publia enfin la solution, mais une solution complète, c'est-à-dire avec l'addition d'une constante arbitraire; et il prit cette occasion de faire remarquer que cela était nécessaire dans tous les cas pour compléter les intégrales. Jacques Bernoulli convint lui-même qu'il Jaeq. Bern. avait eu tort d'y manquer dans la solution de la Op. pag. 649. courbe paracentrique; assurant d'ailleurs que c'était un pur oubli de sa part, occasionné par un peu de précipitation, et donnant pour preuve qu'il connaissait la loi des constantes, sa construction de la courbe élastique, publiée un peu auparavant. Quoi qu'il en soit, on doit reconnaître que malgré ce défaut, la solution de Jacques Bernoulli était dans ce temps-là un effort de génie. En rap Tom. 1, p. 10. portant la courbe à des coordonnées perpendicu- XI. Nous apprenons, dans le Commercium epistolicum de Leibnitz et de Jean Bernoulli, publié seulement en 1745, que dès l'année 1694 ils avaient trouvé l'un et l'autre, chacun de leur côté, cette branche de la nouvelle analyse, qu'on appelle le calcul exponentiel. Leibnitz a la priorité de |