Anmerkungen:

I. Hat man eine Constante a (etwa ein Gewicht oder eine Länge) dadurch ermittelt, dass man sie selbst n Mal beobachtete (mass), so ist das bezüglich der vorstehenden Gleichung Nr. 8 der besondere Fall

II. Als Beispiel für den allgemeinen Fall (Gl. 8) möge Folgendes dienen: Bei einer gleichförmig beschleunigten Bewegung besteht zwischen dem durchlaufenen Wege, s, der dazu nöthig gewesenen Zeit, t, und der Beschleunigung, p, die Beziehung

Um p zu ermitteln, mass man die zu den Zeiten t1, t1⁄2, t ̧,
gehörenden Weglängen S1, S2, S3

Gleichung Nr. 8.

III. Man vergleiche § 71.

Sn. Dann folgt p aus der

b. Anwendungen in der Physik und Mechanik.

§ 57. Ort der Minimalerwärmung zwischen zwei Wärmequellen.

Die in dem quellen P und

unveränderlichen Abstande c befindlichen Wärmeerwärmen den Punkt R (Fig. 16) mit Intensitäten, von denen vorausgesetzt werden möge, dass sie dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional

sind und für die Einheit der letzteren die Werthe p und q haben. I. An welcher Stelle der Geraden PQ ist die Summe der Erwärmungen am kleinsten?

II. Wieviel beträgt dieses Minimum?

III. Wie lauten die unter I und II gefundenen Resultate, wenn die beiden Wärmequellen in gleichen Entfernungen gleich stark wirken?

Lösung. Bezeichnet man die Strecke PR mit x, SO ist die Summe, W, der Erwärmungen, die der Punkt R erfährt, ausgedrückt durch die Gleichung

Die Minimalerwärmung ist also dann das Achtfache von derjenigen Erwärmung, welche eine der beiden Quellen dem Punkte R liefern würde, wenn er sich an der Stelle der anderen befände (und diese nicht vorhanden wäre).

§ 58. Das Zurückwerfungsgesetz.

Die Lage der festen Punkte A und B (Fig. 17) in Bezug auf die Gerade g (mit welcher sie sich in einer Ebene befinden) ist durch die Abmessungen

I. Wo muss man dẹn Punkt C wählen, damit jene Bedingung erfüllt sei? Wie lässt sich seine Lage durch Construction ermitteln?

II. Welche Länge hat der kürzeste Weg?

III. In welcher Beziehung steht das unter I Gefundene zu dem für elastische Körper, Lichtstrahlen u. s. w. geltenden Zurückwerfungsgesetz?

1)

2)

und

Lösung. I. Bezeichnet man die Strecke A'C mit x, so ist w=√ a2+x2 + ·Vb2 + (c — x)2.

Daraus folgt durch Differentiation :

3)

w":

Va2 + x23

√b2 + (c− x) 2 3°

und benutzt goniometrische Deutung, so ergiebt sich ohne Weiteres

Für Nr. 5 oder 6 (überhaupt immer) ist w" positiv; die genannten Werthe liefern also die kleinste Weglänge.

Durch Construction gewinnt man die den Gleichungen 5 und 6 entsprechende Lage des Punktes C, wenn man AA verlängert bis zu einer Stelle A1, die so liegt, dass

A'A1 = A'A
Α'Α,

III. Das Gesetz Nr. 5 gilt bekanntlich für die Zurückwerfung von elastischen Körpern, Lichtstrahlen u. s. w.; man hat also den interessanten Satz, dass dieselben auf dem kürzesten Wege von einem gegebenen Punkte A nach einer vorgeschriebenen Stelle B gelangen, wenn sie zurückgeworfen werden. *)

§ 59. Das Brechungsgesetz.

Es sei g (Fig. 18, Seite 105) die Grenzlinie zweier Mittel; in dem einen derselben sei die Stelle A1 vorgeschrieben, im anderen

*) Vergl. § 72.

die Stelle A. Die gegenseitige Lage von A, und A, möge durch

die Abmessungen

A1'A1 =α1, A‚'Ag=ɑq, A1'Ag' —b

gegeben sein. Von A soll sich, nach A,, auf dem einmal gebrochenen Wege A1BA, ein Punkt so bewegen, dass er längs AB die unveränderliche Geschwindigkeit v1, längs BA, die ebenfalls unveränderliche Geschwindigkeit v

hat.

Man soll

Fig. 18.

B

B

A

թշ

I. berechnen, welche Beziehung zwischen den Winkeln 1 und B stattfinden muss, damit die zum Durchlaufen des Weges w=A1B+BA,

nöthige Zeit, t, am kleinsten sei; auch

II. angeben, ob das Licht, wenn es von A1 nach A, geht, indem es bei g eine Brechung erleidet, die Eigenschaft hat, in der kürzesten Zeit daselbst anzukommen.

Lösung. Für die zum Durchlaufen des Weges w nöthige Zeit ergiebt sich leicht, wenn die Strecke A'B mit x bezeichnet

sind, erkennt man, dass der letztgenannte stets positiv ist und der erstgenannte zu Null wird, wenn

Es ist also die Zeit t am kleinsten, wenn die Sinus der Winkel B und B sich wie die Geschwindigkeiten v1 und v2 ver

halten.

Da das bekannte (von Snellius zuerst aufgefundene) Lichtbrechungsgesetz durch die Gleichung Nr. 2 ausgedrückt wird, so hat das der Brechung unterliegende Licht in der That die Eigenschaft, am schnellsten von A nach Α zu gelangen.*) *) Man vergleiche § 73.

§ 60. Der günstigste Zugwinkel beim Fortbewegen von Lasten.

Auf das langsam fortzuziehende Gewicht P (Fig. 19) möge die Kraft K unter einem, gegen die wagerechte Ebene EE gemessenen, Winkel w wirken.

Der Reibungscoefficient, also die für den Normaldruck 1 (etwa 1 Kilogramm) vorhandene Reibung, sei q.

E

Fig. 19.

K

YP

w

E

Man soll zunächst K berechnen unter der Annahme, dass die Horizontalcomponente dieser Kraft der durch P und K erzeugten Reibung (Normaldruck mal Reibungscoefficient) gleich sein müsse.

Hierauf soll gefunden werden, wie gross w sein muss, damit Kam kleinsten ausfalle; ferner: wieviel das Kmin beträgt. Endlich soll man die Ergebnisse auf den besonderen Fall

g=0,04,

was einer sehr glatten Fläche, etwa einer Schneebahn, entspricht, und

P=200 Kilogramm

anwenden, dabei w bis auf ganze Minuten und Kmin bis auf 2 Decimalstellen des Kilogramms berechnend.

Die Differentialquotienten f'(w) und f" (w) lehren, dass