ist. (Näheres: Grashof, Theorie der Elasticität und Festigkeit; 2. Auflage, v. J. 1878, S. 145.)

Man soll berechnen, für welchen Werth des Verhältnisses

jener Winkel am kleinsten wird.

Lösung. Er erreicht sein Minimum, wenn

b

=

√5,

also wenn (auf vier Decimalstellen abgerundet)

c=2,2361 b.

c. Vermischte Anwendungen.

§ 66. Der grösste Sehwinkel beim Anschauen schiefliegender

Flächen.

с

b

Es sei UOABC (Fig. 24) ein Senkrechtschnitt irgend eines Gegenstandes, z. B. einer Landschaft, für welche AB steiles, kahles

derjenige Punkt der wagerechten Ebene UO liegt, für welchen

der Sehwinkel

AUB=0

am grössten ausfällt;

II. soll eine für die Strecke u brauchbare Construction angegeben werden. Endlich soll man

III. die Ergebnisse auf denjenigen besonderen Fall anwenden, in welchem AB senkrecht ist (also z. B. ein an vertikaler Wand angebrachtes Gemälde).

Lösung. Wenn der Sehwinkel w als Differenz der Winkel BUB und A'UA aufgefasst wird, so ist er leicht als f(u) ausdrückbar, weil die Tangenten dieser Winkel als Functionen von u bekannt sind.

Berechnet man dann den Differentialquotienten f(u) und setzt den erhaltenen Werth gleich Null, so ergiebt sich:

Wurzel stehenden Zeichen in Betracht.

Ferner entnimmt man der Anschauung, dass es zwischen u = B'V und u= ∞ (für welche Werthe w zu Null wird) eine Stelle geben muss, an der der Winkel w am grössten ist.

Die Berechnung und Untersuchung des zweiten Differentialquotienten von f(u) darf also unterbleiben.

so ergeben sich (aus Nr. 1) für den Abstand B'U jener Stelle die Werthe

construiren, wobei x die vierte Proportionale zu A'A, B'B und A"B ist, y die zu AB, AB und A"B.

Noch leichter ergiebt sich (durch Zeichnung) der Werth 5, nämlich in der Form

wobei das geometrische Mittel der Strecken A'A und B'B bedeutet.

Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. I.

8

Liegt AB senkrecht, so gehen die Gleichungen Nr. 4 und 5 über in den Ausdruck

8)

u = √h h1,

dessen Construction selbstverständlich ist.

Fig. 25

§ 67. Filterformen.

Die in den chemischen Laboratorien zur Benutzung gelangenden kegelförmigen Filter werden aus Kreisflächen hergestellt, indem man einen Sector ACB (Fig. 25) derartig einschlägt (faltet), dass der übrig bleibende Theil der Fläche den Kegelmantel bildet. Wird der Centriwinkel des Sectors sehr klein oder sehr gross genommen, so fällt das Kegelvolumen, V, sehr klein aus. Zwischendrin hat es offenbar einen grössten Werth.

3

a

B

Man soll berechnen

I. wie gross (ausgedrückt durch den Halbmesser a) der Grundflächenradius, x,

und die Höhe, y, des Kegels gewählt werden müssen, damit das Volumen V seinen Maximalbetrag annehme;

II. wie viele Grad der Winkel w dann umfasst;

III. welchen Werth das Vmax hat;

IV. wiviel Procent des Vmax das Volumen, V1, beträgt, wenn x

1)

gleich der Hälfte des unter I gefundenen Betrages genommen wird (was in den Laboratorien oft vorkommt.) Lösung. Es ist

mithin am grössten, wenn

2)

x = √ } a,

x=0,8165 a.

y= 3√3a=0,5774 a ;

also, auf vier Decimalstellen abgerundet,

3)

Hierzu gehört der Werth

4)

Nimmt man für x nur die Hälfte des unter Nr. 2 und 3 angegebenen Werthes, so ergiebt sich das Volumen

Dasselbe beträgt nur 39,53 Procent des Vmax.

Man unterlasse nicht, die Ergebnisse der Rechnung mit Dem zu vergleichen, was die Anschauung lehrt, wenn man einer aus Papier geschnittenen Kreisfläche Sectoren von verschiedener Grösse einfaltet.

§ 68. Die Zellen der Bienen.

H

B

Die durch Fig. 26 mit etwas Verzerrung skizzirte Form der Wachszellen der Honigbienen kann aus der eines geraden Prisma's, dessen Basis ein regelmässiges Sechseck A'B'C'D'E'F' ist, Fig.26. folgendermassen hergeleitet werden: Man zieht in der Deckfläche ABCDEF des Prisma's die drei Diagonalen BD, DF, FB und verlängert die Achse G'G des Körpers um die Strecke GH x über die Deckfläche hinaus.

Β'

D

E

F'

E'

Hierauf legt man durch H und je eine der genannten drei Diagonalen eine Ebene. Werden diese drei Ebenen bis zu ihren Schnittlinien und bis an die Seitenflächen des Prisma's benutzt, so entsteht die bekannte (oben durch drei congruente gleichseitige Vierecke HFJB, HBKD, HDLF geschlossene) Form der Bienenzelle. Der körperliche Inhalt einer solchen Zelle ist, wie man leicht erkennt, dem des ursprünglichen regelmässigen sechsseitigen Prisma's gleich.

I. Wie gross muss x genommen werden, damit die Gesammtoberfläche S der Zelle bei vorgeschriebenem Volumen (dem des Prisma's) am kleinsten sei?

II. Welchen Werth hat (bis auf ganze Minuten berechnet) der Winkel FJB der Deckflächen, falls Minimaloberfläche vorliegt? Wie verhält er sich zu dem bei den Bienenzellen thatsächlich vorhandenen Winkel von 109 Grad 28 Minuten ?

Lösung. Die Oberfläche S besteht aus der Grundfläche, sechs Seitenflächen und drei Deckflächen. Wird mit a die Länge der Basiskante, mit b die der Seitenkante des ursprünglichen sechsseitigen Prisma's bezeichnet, so ist

1)

2)

S = 3 a {2 (2 b − x) + (a + √ a2 + 4x2) √ 3 }·

Es handelt sich also um das Minimum der Function

f(x)=√3 (a2+4x2)-2x.

Die Werthe der Differentialquotienten f'(x) und f'(x) lehren, dass es für

3)

X= √2a= 0,354 a

eintritt (was leicht construirt werden kann).

4)

Bei diesem Werthe von x ist, wie man leicht findet,

FJB 109° 28'.

Da nun für Bienenzellen der Winkel FJB dieselbe Grösse hat, so erkennt man: die Bienen bauen ihre Wachszellen (volumengleich dem zugehörigen sechsseitigen Prisma) derartig, dass sie zur Herstellung derselben das Minimum des Materials brauchen. *)

§ 69. Grösste und kleinste Werthe aus Cap. II, A.

Die Anzahl der auf Maxima und Minima sich beziehenden Aufgaben, welche in den §§ 54-68 behandelt wurden, kann wesentlich vergrössert werden, wenn der durch die §§ 22-37 dargebotene Stoff theilweise Benutzung findet.

So oft nämlich bei den dort zur Behandlung gelangten auf rechtwinklige Coordinaten bezogenen Linien Gipfelpunkte oder

*) Bezüglich des Näheren über diese Zellenform benutze man etwa folgende Literatur:

1. Darwin, die Entstehung der Arten; deutsch von Carus; S. 306309 der 6. Auflage.

2. Gaea, Jahrgang 1883, S. 403-407 und Jahrgang 1885, S. 33–37. (Abhandlungen von K. Müllenhoff, bezüglich P. Schulz.)

3. Die Natur, Bd. 8. (J. 1859); S. 397-398. (Abhandlung von H. J. Heller.)