1

Es ist P1 geradlinig verbunden mit einem auf OY liegenden Punkte R1, dieser mit einem auf OX befindlichen Punkte R2, letzterer

mit Pg.

Man soll, ermitteln :

I. wie gross die Abstände

OR=x, OR1 = y

genommen werden müssen, damit die Weglänge

w=P1R1+R1R2+R2 P2

am kleinsten sei;

1

1

II. auf welche Art die das min liefernden Punkte R1 und R2 durch Construction gefunden werden können;

III. wieviel das kleinste w beträgt.

Endlich soll

IV. angegeben werden, in welcher Beziehung das unter I Gefundene zu dem aus der Physik bekannten Zurückwerfungsgesetze steht.

Lösung. I. Es ist

1

2

1) w=√a;+(b, − y)2 +√ x2 + y2+V (a,− x)2 + b2. Berechnet man die Werthe der partiellen Differentialquotienten

und setzt jeden derselben gleich Null, so giebt das zwei Gleichungen, welche, unter Benutzung goniometrischer Deutung,

erfüllt sein, wenn die Strecken x und y positiv und von Null verschieden ausfallen sollen.

Dass die Werthe Nr. 4 und 5 wirklich das kleinste w geben, folgt aus der Natur der Aufgabe. Man kann sich also das Berechnen und Untersuchen der zweiten Differentialquotienten *) ersparen.

II. Aus Nr. 2 und 3 erhellt leicht, dass die das wmin liefernden Punkte R, und R2 durch folgende Construction gefunden werden können: Man verlängert PQ, bis zu einem Punkte P', welcher so liegt, dass

Wo Letztere die Ge

Hierauf zieht man die Gerade P'P'.

raden OY und OX schneidet, da liegen die gesuchten Punkte R1, bezüglich R2.

8)

III. Es ist

2

Wmin √ (a1 + a2)2 + (b1+b2)2.

=

Das folgt am einfachsten aus der unter II angegebenen Construction.

IV. Da die Gleichungen Nr. 2 und 3 das Zurückwerfungsgesetz (der Physik) aussprechen, so erkennt man, dass elastische Körper, Lichtstrahlen u. s. w. auf dem kürzesten Wege von der gegebenen Stelle P nach dem vorgeschriebenen Punkte P gelangen, wenn sie durch die Geraden (Ebenen) OY und OX in der aus der Naturlehre bekannten Weise reflectirt werden.

1

9

Q1P1 =α1, OQ1 = b1, OQ2 =α2, Q2 P2=b2, gegeben sein.

Es handelt sich dann zunächst darum, diejenigen Werthe der Abstände

setze jeden derselben gleich Null, deute die erhaltenen Gleichungen goniometrisch, führe überhaupt die Lösung der Aufgabe im Wesentlichen so durch, wie es unter A geschehen ist.

§ 73. Verallgemeinerung der im § 59 behandelten Aufgabe. In zwei verschiedenen Mitteln, M1 und M2, welche durch die Fläche

begrenzt sind, mögen zwei Stellen, A1 und A2, durch die (auf ein rechtwinkliges System bezogenen) Coordinaten a, b, c, bezüglich a, b, Ca, gegeben sein.

Von A1 nach A soll sich ein Punkt in der gebrochenen Geraden ABA,, deren Brechstelle B auf der Grenzfläche liegt, so bewegen, dass er längs A,B die unveränderliche Geschwindigkeit v1, längs BA, die ebenfalls unveränderliche Geschwindigkeit V2 hat.

Es ist dann interessant, zu ermitteln, welche Bedingungen die Lage des Punktes B erfüllen muss, wenn die zum Durchlaufen des Weges A, BA, nöthige Zeit, t, am kleinsten sein soll.

Bezeichnet man die Coordinaten von B mit x, y, z, so gilt für die Gleichung

Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. I.

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Es kommt nun darauf an, zu berechnen, wie dieser Werth (in welchem z, laut Nr. 1 oder 2, von x und y abhängt) zu einem Minimum wird.

Man sehe hierüber die von C. Bartl im Jahre 1878 veröffentlichte Abhandlung, *) vergleiche aber auch: Neumann, theoretische Optik, 1885, S. 278-280.

*) Archiv der Mathematik und Physik; T. 62, S. 189-201.

Capitel V.

REIHEN.

§ 74. Näherungsformeln für naturwissenschaftliche
und technische Zwecke.

A.

Wenn in einer durchzuführenden Rechnung Grössen vorkommen, welche, verglichen mit anderen in derselben Rechnung auftretenden Grössen, sehr klein sind, so benutzt man in vielen Fällen Näherungsformeln an Stelle streng richtiger Gleichungen, indem man alle die Potenzen oder Produkte jener Grössen unbeachtet lässt, deren Einfluss viel geringer ist als derjenige der unvermeidlichen Beobachtungsfehler.

Sehr oft betrifft das Ausdrücke von der Form:

(1+d)m,

wobei eine positive oder negative Grösse bezeichnet, die, im Vergleiche zu 1, sehr klein ist, m aber irgend eine ganze oder gebrochene, positive oder negative Zahl.

Man gebe (mit Benutzung des aus der Differentialrechnung bekannten „, binomischen Satzes") Näherungsformeln an für

unter der Voraussetzung, dass alle diejenigen Potenzen von d unbeachtet bleiben dürfen, welche höher sind als die erste.

Auch wende man die Ergebnisse auf einen besonderen

Fall an, etwa auf d―0,002.