d2x hinauskommt, den zweiten Differentialquotienten (wobei x, wie dt2 oben, die Menge des gebildeten Stoffes bedeutet). Näheres über Beschleunigungen bei chemischen Vorgängen: Lutoslawski, das Gesetz der Beschleunigung der Esterbildung; 1885; S. 5. Ferner über Reactionsgeschwindigkeiten (partielle und totale) sowie über das chemische Gleichgewicht: Ostwald, allgem. Chemie, Bd. 2, v. J. 1887, S. 596-97, 640—41, 650. Endlich über die Beziehung der Geschwindigkeit eines chemischen Vorganges zur Affinität: Journal für prakt. Chemie, Bd. 135, J. 1883 (Abhandlung von Ostwald), S. 35-36. — Das in diesem Paragraphen Behandelte wird für die Lösung später folgender Aufgaben oft Anwendung finden. (Man sehe § 13, 14 und andere.) Dabei möge Folgendes als bekannt vorausgesetzt werden: Unter Kraft versteht man die Ursache der Geschwindigkeitsänderung. Als Krafteinheit dient diejenige Kraft, welche der Masseneinheit eine Beschleunigung ertheilt, die der Längeneinheit gleich ist. Erhält die Masseneinheit eine Beschleunigung von K Längeneinheiten durch irgend eine Kraft, so hat man letztere durch die Zahl K auszudrücken. Wirkt diese Kraft K auf die Masse m, so erzeugt sie, wie die Erfahrung lehrt, die Beschleunigung Die auf die Masse 1 wirkende Kraft heisst die,,beschleunigende", während die auf die Masse m wirkende die ,,bewegende" genannt wird. § 13. Beispiele für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bei geradlinigen Bewegungen. Man weiss, wollen wir voraussetzen, von irgend wo her, dass für drei verschiedene geradlinige Bewegungen eines materiellen Punktes (von der Masse 1) die zurückgelegten Wege, s, von der für sie nöthig gewesenen Zeit, t, abhängen nach den Gleichungen -bt) 1) S 1 b2 = { abt — (a — be) (1 − e− 1) }, Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. I. in denen die ausser s und t auftretenden Buchstaben constante positive Grössen bezeichnen (wobei e die Basis der natürlichen Logarithmen ist). Es soll für jede dieser Bewegungen die Geschwindigkeit v und die Beschleunigung p berechnet werden; auch soll man die Ergebnisse der Rechnung sachgemäss verwerthen, insbesondere benutzen, um die in den Gleichungen Nr. 1 bis 3 vorkommenden Con stanten zu deuten. Lösung I. Aus Nr. 1 folgt, durch Benutzung der Gleichung 3 des vorigen Paragraphen, für die erste der drei Bewegungen: a - (a - bc) e-bt 4) als Geschwindigkeit zur Zeit t. b die Constante c bedeutet mithin die Anfangsgeschwindigkeit. Ferner folgt aus Nr. 4: es nähert sich also die Bewegung mehr und mehr einer gleich förmigen mit der Geschwindigkeit a b Endlich giebt Nr. 4, bei Anwendung des Satzes 5 des vorhergehenden Paragraphen, für die zur Zeit t vorliegende Beschleunigung: p = (abc) e-bt ̧ 7) nimmt (bei wachsender Zeit) stets ab, wird aber in der Endlichkeit nie zu Null. Durch Verbindung zweier der vorstehenden Gleichungen erhält man noch 9) p = a - bv als Beschleunigung für die Geschwindigkeit v. Es tritt hiernach die vorliegende Bewegung dann ein, wenn der materielle Punkt sich (mit der Anfangsgeschwindigkeit c) unter dem Einflusse einer (im Sinne von c wirkenden) constanten beschleunigenden Kraft a in einem Mittel bewegt, welches proportional der Geschwindigkeit v derartig widersteht, dass für die Einheit der letzteren die Widerstandsintensität gleich b ist. 10) II. Für die zweite der obigen Bewegungen ergiebt sich v = -gkt gkt als die nach Ablauf der Zeitt herrschende Geschwindigkeit. Hieraus folgt geschwindigkeit hat. zunächst, dass der Punkt keine AnfangsFerner folgt: 1 es nähert sich also die Bewegung asymptotisch einer gleich förmigen mit der Geschwindigkeit Die Constante k bedeutet mithin den reciproken Werth der nach unendlich langer Zeit sich einstellenden Geschwindigkeit. Für die zur Zeit t herrschende Beschleunigung findet man : lehrt mithin, dass die Constante g die beim Beginne der Bewegung vorliegende Beschleunigung bedeutet. was das durch 11 Gefundene bestätigt. Die nach Durchlaufung des Weges s erlangte Beschleunigung hat den Werth Endlich ergiebt sich für die zur Geschwindigkeit v gehörende Beschleunigung: 18) p = g(1-k2 v2). Man erkennt leicht, dass sich in dieser Weise ein fallender Körper bewegt, wenn der Mittelwiderstand dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional ist und die Veränderlichkeit der Schwere nicht beachtet zu werden braucht. Für die Einheit der Geschwindigkeit hat der Widerstand den III. Bei der dritten der am Anfange dieses Paragraphen bezeichneten Bewegungen ist 1 ck cos gkt sin gkt v= cos gkt+ck sin gkt' 1 ck-tan gkt v = k 1+ck tan gkt die Constante c bedeutet also (wie bei I) die Anfangsgeschwindigkeit. Ferner lehrt die Gleichung 21, dass Von diesem Augenblicke an sind die Geschwindigkeiten negativ, es erfolgt also eine Rückwärtsbewegung (auf welche hier nicht eingegangen werden soll). Ferner lehrt die Gleichung 25, dass zu der durch Nr. 23 angegebenen Zeit (also für v o) die Beschleunigung ist, womit man die Bedeutung der constanten Grösse g erkennt. Zu der Geschwindigkeit v gehört die Beschleunigung Diese Art Bewegung liegt vor, wenn ein Körper (Punkt von der Masse 1) mit der Anfangsgeschwindigkeit c von der Erdoberfläche aus senkrecht in die Höhe geworfen wird, die Schwere (g) dabei als unveränderlich angesehen werden darf, der Luftwiderstand dem Quadrate der Geschwindigkeit derartig proportional ist, dass er für die Einheit der letzteren die Intensität u hat und man endlich die Bewegung nur bis zur Umkehrstelle des Körpers in Betracht zieht. Dabei besteht, laut 30, die Beziehung womit auch die dritte Constante gedeutet ist. § 14. Beispiele für Geschwindigkeiten und Beschleunigungen bei chemischen Vorgängen. Unter Voraussetzungen, auf welche hier nicht eingegangen werden soll, über die man jedoch Alles an den im Nachstehenden (I und II) bezeichneten Stellen finden kann, gilt Folgendes: I. Wenn sich Calcium carbonat in Salzsäure löst, so ist, nach Boguski*) und van t'Hoff**), die Anzahl y der in der Zeit t gebildeten Chlorcalciummoleküle (oder Kohlensäuremoleküle) ausgedrückt durch die Gleichung *) Berichte der deutschen chemischen Gesellschaft zu Berlin, J. 1876, Seite 1646-1652. **) Ansichten über die organische Chemie, Th. I (1878), Seite 180. |