Form besitzt) mit den sehr kleinen unvermeidlichen Fehlern 4x, Ay, 4z gemessen und soll berechnen:

I. wie gross der Fehler 4V des Volumens

V = xyz

ist, den jene Messungsfehler erzeugen, wenn man dieselben a) als endlich kleine Grössen (Differenzen),

Man soll ferner, die letztere Auffassung festhaltend, ermitteln :

II. unter welchen Umständen (bezüglich der Vorzeichen) ▲V am grössten ist und unter welchen anderen Umständen es zu Null wird (ohne dass die Fehler der Kantenlängen gleich Null sind);

V. auf welchen Bruchtheil genau man die Kante z messen

1

1

muss, falls x auf x, y auf ±y gemessen ist

1

2

und man auf ± Verhalten will (auch in den hier

100

für ungünstigsten Fällen).

Lösung. I. Der bezüglich des Volumens vorliegende Fehler hat den streng richtigen Werth

1)

xy 4z+xz 4y+ yz 4x

AV+x 4y 4z + y 4x Az + z Ax Ay
+ 4x Дy 4%,

wobei die Vorzeichen von 4x, Ay und 4z gehörig zu be

achten sind.

Dieses Ergebniss der Rechnung ist durch die Anschauung leicht zu bestätigen, wenn man den geometrischen Sinn der drei Gliederarten der rechten Seite der Gleichung Nr. 1 gehörig beachtet.

Werden die Messungsfehler 4 x, y und 42 als Differen

tiale aufgefasst (vergl. § 1), so gelangt man zu der näherungsweise geltenden Formel

2)

AV=xy 4%+ xz Дy + yz Ax.

Sie ergiebt sich aus dem für die Differentiation des Produktes geltenden Satze, oder aus der zwischen dem totalen Differentiale und den partiellen Differentialen bestehenden Beziehung

kann aber auch aus der Gleichung Nr. 1 entnommen werden, indem man daselbst alle die Glieder, welche Produkte der sehr kleinen Grössen 4x, 4y und 42 enthalten, vernachlässigt.

Was die Formel 2 geometrisch bedeutet, ist sehr leicht zu sagen.

Die Vernachlässigung, deren man sich schuldig macht, wenn man an Stelle der streng richtigen Gleichung Nr. 1 die Näherungsformel 2 benutzt, hat den Werth:

4) v = x Дy 4z + y 4x 4% + ≈ 4x 4y+ 4x 4y 4z. Dies beträgt so wenig, dass es fast immer unbeachet bleiben darf.

II. Der Fehler AV ist, laut Nr. 2, am grössten, wenn 4x, Ay und 4 gleiche Vorzeichen haben (die Kanten mithin sämmtlich zu lang, oder sämmtlich zu kurz gemessen sind). Er wird zu Null, wenn die Gleichung

5)

4x Ay
+ +

y

besteht, also wenn die algebraische Summe der relativen Fehler der Kantenlängen gleich Null ist.

III. Haben die letztgenannten Fehler die Werthe

1 1 1

w'

Es ist also der relative Fehler der Volumenbestimmung gleich der algebraischen Summe der relativen Fehler der Kantenlängen.

Wurden alle drei Kanten mit dem relativen Fehler gemessen,

1

so haftet dem Volumen das Dreifache als Fehler an.

IV. Für den besonderen Fall

4x+0,001 x, 4y+0,001 y, z=+0,001 ≈

gilt, streng richtig,

7)

AV
V

=0,003003003.

Hingegen liefert die, im Vorhergehenden immer benutzte, Näherungsformel Nr. 2 den Werth

Die Vernachlässigung hat also den sehr geringen Betrag von (abgerundet) 3 Milliontel V.

V. Will man VV haben und weiss, dass die Fehler 4x und 4y die Werthe x, bezüglich, be506, sitzen, SO muss man die Kante z bis auf ihrer Länge genau messen.

3

§ 3. Ausmessung von Körpern und Flächen im Allgemeinen. Nachdem im vorigen Paragraphen derjenige Fehler, welcher bei der Ausmessung eines Parallelepipeds entsteht, ausführlich besprochen worden ist, erwäge man, ob und wie sich das dort Behandelte auf die Ausmessung anderer Körper, z. B. des Cylinders, Kegels, abgestumpften Kegels u. s. w. übertragen lässt. Auch ziehe man daraus Schlüsse für die Ausmessung der Körper überhaupt.

Man erwäge ferner, wie sich Dasjenige, was für die Fehler beim Ausmessen von Körpern gilt, auf das Ausmessen von ebenen oder krummen Flächen übertragen lässt. Als Beispiele benutze man etwa die Ausmessung der Rechteckfläche und die der Gesammtoberfläche eines Kegels.

§ 4. Ausdehnung und Zusammenziehung.

Aus naheliegenden Gründen gilt Das, was in den vorhergehenden Paragraphen bezüglich der Ausmessung von Körpern und Flächen behandelt oder angedeutet wurde, im Wesentlichen auch für die regelmässigen Ausdehnungen und Zusam ziehungen, welche Körper oder Flächen in Folge irgend einer Ursache, z. B. durch Temperaturveränderungen, erleiden.

mmen

Unter dem linearen Ausdehnungscoefficienten, a, eines festen Körpers versteht man bekanntlich die Verlängerung, welche die Längeneinheit desselben durch einen Grad Temperaturzunahme erfährt; unter dem cubischen Ausdehnungscoefficienten hingegen diejenige Volumenzunahme, welche der Würfel mit der Kantenlänge 1 in dem nämlichen Falle erleidet. Man berechne die zwischen diesen beiden Coefficienten bestehende Beziehung unter der Voraussetzung, dass alle diejenigen Glieder vernachlässigt werden dürfen, welche Potenzen von a, höher als die erste, als Factoren enthalten; oder was auf Dasselbe hinauskommt man führe die Rechnung, indem man die Veränderungen der Längen und der Volumina wie Differentiale behandelt.

Lösung. Sehr leicht ergiebt sich die Strecke 1 hat, nachdem die Temperatur um t Grad gestiegen ist, die Länge

1+ at;

der Würfel 1 hingegen besitzt dann das Volumen

1+ 3 at;

es ist mithin der cubische Ausdehnungscoefficient das Dreifache des linearen. (Vergl. § 2, III.)

Hierbei ist nur die Summe

3 a2 t2 + a3 t3

vernachlässigt und diese beträgt, weil bekanntlich für fast alle festen Körper α < 0,00003

ist, so wenig, dass sie für die Praxis meist nicht in Betracht kommt. (Man vergleiche § 18.)

§ 5. Die Fehler bei der Dichtigkeitsbestimmung eines Körpers durch Abwägen in der Luft und im Wasser.

Die Dichtigkeit, s, eines festen (im Wasser untersinkenden) Körpers hängt bekanntlich von seinem Gewichte in der Luft, welches Y heissen möge, und von seinem Gewichte im Wasser, welches wir 1 nennen wollen, ab nach der Gleichung

wobei von Correctionen abgesehen ist, welche den Gewichtsverlust in der Luft u. s. w. betreffen. (Näheres: Kohlrausch, Leitfaden der praktischen Physik; 5. Aufl., v. J. 1884, S. 7.)

Man hat die Gewichte p und P1 durch sehr sorgfältige Wägungen bestimmt und dabei sehr kleine (unvermeidliche) Fehler gemacht, nämlich p um 4p und p1 um 4p, falsch ermittelt. Es soll unter der Voraussetzung, dass die Fehler 4p und Ap1 wie Differentiale behandelt werden dürfen berechnet werden:

I. die Grösse desjenigen Fehlers im Resultate s, welcher nur von dem Fehler der Wägung in der Luft herrührt;

II. die desjenigen, welcher allein durch den Fehler der Wägung im Wasser veranlasst ist;

III. die des Gesammtfehlers in der Bestimmung von s, also desjenigen Fehlers, den 4p und Ap1 gemeinschaftlich erzeugen;

IV. die Grösse der unter I bis III genannten Fehler für den besonderen Fall, dass der Körper in der Luft 120,5 Gramm, im Wasser 110,9 Gramm wog, für derartige Belastungen aber der Wägungsfehler gleich 3 Milligramm, bezüglich 4 Milligramm (bei der betreffenden Wage) gesetzt werden darf.

Lösung. I. Für den Fehler 4ps, also für denjenigen, welcher nur vom Wägen in der Luft herrührt, folgt aus der Gleichung Nr. 1 mittelst partieller Differentiation :

Das heisst wenn bei der Wägung in der Luft das Gewicht p um Ap zu gross bestimmt worden ist, so findet man demzufolge die

4)

p

Δη

III. Der Gesammtfehler, welcher dem s anhaftet, hat den Werth

Es ergiebt sich das entweder aus den Gleichungen 2 und 3 mittelst des Satzes

ds=ps+p, s,