gezeichnet werden, dass für die Abscissen das Centimeter, für die Ordinaten aber das Millimeter als Einheit dient.

4)

Lösung. Der gesuchte Zusammenhang lautet:

y = x5 — 8 x2.

Mit der Abscissenachse hat die zugehörige Linie die Punkte x=0 und x= = 2

gemein; mit der Ordinate nachse nur den Ursprung.

Durch Differentiation der Gleichung Nr. 4 erfährt man leicht das Nachstehende: Für

liegt ein unterer Culminationspunkt (Sohlpunkt); im Coordinatenursprunge ein oberer (Gipfelpunkt). Die Minimalordinate hat den Werth - 10,42.

3

So lange x zwischen und 10,8 (d. i. 0,93) liegt, ist die Curve concav nach unten (bei wagerechter Abscissenachse); für alle zwischen 0,93 und liegenden x-Werthe hingegen convex. Bei

x= = 0,93

befindet sich ein Wendepunkt (mit der Ordinate 6,21). Das Aufzeichnen der Ergebnisse innerhalb der Grenzen

x=2 und x=+3,

nebst dem Einschreiben der gewonnenen Zahlen, möge nicht unterbleiben.

C.

Zwei veränderliche Grössen, x und y, hängen in einer zunächst noch unbekannten Weise von einander ab; es ist also

wobei jedoch die Form der Function f erst ermittelt werden muss. Durch geeignet angestellte sorgfältige Beobachtungen wurde gefunden:

Es soll nun, durch sachgemässe Umgestaltung der unter Nr. 6 stehenden Werthe, also nicht durch Auflösung von Gleichungen, I. diejenige Form der Function f(x) gefunden werden, welche sämmtlichen 8 Beobachtungen entspricht. Man soll

II. diese neue Gleichung auffassen als die einer auf rechtwinklige
Coordinaten bezogenen Linie und für letztere berechnen:
a) wie sie läuft, insbesondere, ob sie stets die convexe
Seite der Abscissenachse zukehrt;

7)

B) ob sich ihre Tangenten auf einfache Weise construiren lassen;

7) welchen Werth der Krümmungshalb messer o besitzt und ob sich für denselben eine bequeme, hinreichend brauchbare, Näherungsconstruction angeben lässt, die für grosse x von der Wahrheit wenig abweicht. Lösung. Man findet leicht:

y=2x3.

Die durch diese Gleichung gekennzeichnete Linie steigt immer und zwar sehr schnell. Sie kehrt (was der zweite Differentialquotient der Ordinate lehrt) für positive Abscissen stets die convexe, für negative stets die concave Seite nach unten und hat im Coordinatenanfange einen Wendepunkt.

Eine höchst einfache Art des Construirens der Tangenten ergiebt sich, sobald man bemerkt, dass die

Für grosse x ist näherungsweise (und von der Wahrheit wenig abweichend)

leicht construiren. Jedoch hat das wenig Werth, weil die Construction unge na u ausfällt (spitzen Schnittes wegen). Man thut daher besser, g nach den Gleichungen 10 oder 9 zu berechnen und dann auf die Normale, deren Lage durch Nr. 8 bestimmt ist, aufzutragen.

Übrigens wird die Krümmung der Linie bald sehr klein; schon für x=2 ist, laut Gleichung 10, der Krümmungshalbmesser gleich 576 Einheiten.

Auch hier sei, wie bei A und B, das Zeichnen der Curve empfohlen (etwa innerhalb der Abscissen x - 2 und x= +2); ebenso das der Tangente und das des Krümmungsradius für einen geeigneten Punkt.

D.

Zwischen zwei Veränderlichen, x und y, bestehen, was durch zuverlässige Messungen gefunden wurde, die durch die Figur 5 dargestellten Beziehungen; es ist nämlich.

II. Das Ergebniss soll man auf die besonderen Fälle α) Xq=α, X3=2α, Y2 = a,

X2 X3 (2 X3 − 3 X2 ) X + (3 x 2 − x2) x2

Halbirt der Punkt P2 die Strecke P1P, so geht die Gleichung Nr. 13 in eine zweiten Grades über, nämlich in die sehr einfache :

In dem in der Aufgabe genannten besonderen Falle a besteht die Beziehung

x (2a

a—x).

a

Die Linie PPP ist dann eine gemeine Parabel. Der Scheitel liegt in P2, die Achse senkrecht nach unten; der Halbparameter hat die Längea. Einen Wendepunkt giebt

Die Curve P P P ist dann (was der zweite Differential

1 2 3

2

concav,

quotient lehrt) convex nach unten, so lange als x wenn x> ; für x= besitzt sie einen Wendepunkt. Seine Ordinate hat den Werth 143

243.

Man unterlasse nicht, die Linien P1 P, P, für die besonderen

Fälle a und zu zeichnen.

3

b. Anwendungen in der Chemie, Physik und Mechanik.

§ 23. Drei chemische Vorgänge.

A.

Löst sich Calcium carbonat in Salzsäure, so ist, unter gewissen Voraussetzungen (man vergleiche § 14), die Anzahl der zur Zeit t gebildeten Chlorcalcium moleküle

Dabei haben P, V und c die im § 14, unter I, angegebene Bedeutung, sind also positive, constante Grössen.

Man soll, unter Benutzung rechtwinkliger Coordinaten, die Gestalt derjenigen Curve ermitteln, durch welche die Gleichung Nr. 1, also der Verlauf des chemischen Processes, geometrisch dargestellt wird, nämlich untersuchen, wie sich die Linie verhält in Bezug auf

an,

I. Steigung, Fall, Culminationspunkte,

II. Convexität, Wendepunkte.

Lösung. Wir sehen die t (mithin die Zeiten) als die Abscissen die y als die Ordinaten, berechnen die beiden ersten Differentialquotienten von y (in Bezug auf t) und erkennen leicht Folgendes: Die den Vorgang darstellende Linie beginnt im Coordinatenanfange und steigt unausgesetzt, es giebt also keinen Culminationspunkt. Dabei werden die y nicht unendlich gross, vielmehr ist

die Curve hat mithin eine Asymptote, welche in dem Abstande P der t-Achse parallel liegt.

Der Letztgenannten wird stets die concave Seite zugewendet; ein Wendepunkt ist sonach nicht vorhanden.

B.

Wenn in der Raumeinheit q Moleküle Chlor auf q Moleküle eines substituirbaren Körpers einwirken (vergl. § 14), so bilden sich

Moleküle des Reactionsproductes in der Zeit t, wobei c (wie unter A) den Einwirkungscoefficienten bedeutet, also eine bekannte, positive und constante Grösse ist.