Es soll die die Gleichung Nr. 2 geometrisch darstellende, auf rechtwinklige Coordinaten (Abscisse t, Ordinate x) bezogene Linie, so weit sie für den chemischen Vorgang in Betracht kommt, I. in Bezug auf Steigen, Fallen, Culminationspunkte, Concavität, Convexität und Wendepunkte untersucht werden; II. soll man angeben, zu welchen Linien jene Curve gehört, wie sie liegt und wie gross ihre Bestimmungsstücke sind. Lösung. Die Gleichung Nr. 2 und die beiden ersten Differentialquotienten von x (nach t) lassen leicht erkennen, dass die Linie (wie die unter A aufgefundene) vom Coordinatenanfange aus immer steigt und der t-Achse stets die con ca ve Seite zuwendet. Culminations- oder Wendepunkte sind also nicht vorhanden; wohl aber ist eine Asymptote da. Letztere liegt in dem Abstande q der Abscissenachse gleichgerichtet. Bei näherer Untersuchung der Gleichung Nr. 2 ergiebt sich, dass man mit einer gleichseitigen Hyperbel zu thun hat, deren zweite Asymptote in dem Abstande 1 t cq der Ordinatenachse parallel liegt. Durch geeignete Verschiebung der Coordinatenachsen erhält man leicht die Asymptotengleichung jener Hyperbel und findet, dass die Halbachse den Werth hat, womit auch die Lage des Scheitels bestimmt ist. Es möge das Zeichnen der Linie unter besonderer Hervorhebung des für den betreffenden chemischen Vorgang in Betracht kommenden Theiles derselben erfolgen. C. Wirken Moleküle Wasser auf p Moleküle Chloressigsäure, so entstehen, nach van t' Hoff, *) 3) ge Moleküle Glycolsäure (und Chlorwasserstoff) in der Zeit t, wobei q viel grösser als p vorausgesetzt ist, e die Basis der natür *) Ansichten über die organische Chemie, Th. II, v. J. 1881, S. 100. lichen Logarithmen und c, wie vorher (A und B) den Einwirkungscoefficienten bedeutet. Man untersuche den Lauf, die Tangenten, Asymptoten u. s. w. derjenigen (auf ein rechtwinkliges System bezogenen) Linie, welche die genannte Gleichung, Nr. 3, für den besonderen Fall q=164, p=1 darstellt, wenn die Zeiten als Abscissen und die gebildeten Glycolsäuremengen als Ordinaten genommen werden. Auch vergleiche man die Ergebnisse mit den durch Buchanan im Jahre 1871 veröffentlichten Untersuchungen. *) 1) § 24. Das Nordenskjöld'sche Löslichkeitsgesetz. Dasselbe lautet in seiner einfacheren Form: in der minder einfachen: 2) IS=a+bt; IS1 = a+bt+ct2. Dabei bedeuten S und S, die Mengen der bereits gelösten Substanz, t bedeutet die Temperatur des Lösungsmittels, während a, b und c constante Grössen sind (deren Werthe sich in jedem besonderen Falle berechnen lassen). **) In der ersten Form stimmt das Gesetz nur annähernd, in der zweiten sehr gut mit den Beobachtungen überein. Man bringe die Gleichungen Nr. 1 und 2 auf die Formen Hierauf untersuche man den Lauf, die Tangenten, Normalen u. s. w. derjenigen Linien, welche die Gesetze Nr. 3 und 4 darstellen, wenn man, unter Benutzung eines rechtwinkligen Systems, die Temperaturen als Abscissen, die gelösten Substanzmengen als Ordinaten nimmt. Für die erste der Curven berechne man insbesondere die Länge der Subtangente und die des Krümmungshalb messers. *) Berichte der deutschen chemischen Gesellschaft zu Berlin; Jahrg. 1871, S. 340-342. **) Ostwald, allgemeine Chemie, Bd. 1 (v. J. 1885) S. 377. Auch wende man die Ergebnisse auf einen besonderen Fall an, etwa auf das Chlornatrium, für welches IS=0,4484 + 0,000105 t +0,000319 t2. Endlich beantworte man die Frage, ob Polarcoordinaten sich zur geometrischen Darstellung des Vorhergehendem eignen. § 25. Das Mariotte'sche oder Boyle'sche Gesetz. *) Mit Einschränkungen, auf welche hier nicht eingegangen werden soll, lautet das in der Überschrift des Paragraphen genannte Gesetz bekanntlich: Bei unveränderlicher Temperatur ist das Volumen v eines Gases dem Drucke p umgekehrt proportional. Oder: 1) Po vp=vo Po wobei vo und po das Volumen, bezüglich den Druck, für den Anfangszustand bedeuten. Man nenne und zeichne diejenigen Linien, welche das Gesetz darstellen I. für den Fall, dass man den Druck und das Volumen als rechtwinklige Coordinaten, II. für den, dass man jene Grössen als Polarcoordinaten auffasst. 1) Für die zweite dieser Linien berechne man: a) die Länge der Polarsubtangente (und gebe, auf an, tangenten construirt werden können); b) den Krümmungshalbmesser, o, ausgedrückt durch die Länge des Leitstrahles und durch die der Polarnormale. § 26. Formeln für den Dampfdruck. Die von Regnault angegebenen Ausdrücke haben die Form log p=a+bat. Dabei ist der Dampfdruck in Millimetern, t die um eine gewisse (positive oder negative) Constante C vermehrte Temperatur (nach Celsius), während a, b und a constante Grössen bedeuten. *) Geschichtliches: Wolf, Handbuch der Mathematik, Physik, u. s. w.; Bd. 1 (v. J. 1870), S. 372; Wüllner, Experimentalphysik, Bd. 1, 4. Aufl. (v. J. 1882), S. 418; Ostwald, allgem. Chemie, Bd. 1 (1885), S. 129. Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. I. 4 Man bringe die Gleichung Nr. 1 zunächst auf die Form p=f(t), 2) fasse dann t als Abscisse, p als Ordinate auf und untersuche die Gestalt, die Tangenten, Normalen u. s. w. der durch Nr. 2 gekennzeichneten Linie unter der Voraussetzung, dass a positiv, b negativ und α ein von +1 nicht sehr verschiedener echter Bruch sei. Hierauf wende man die Ergebnisse an auf den besonderen Fall des Wassers. Es ist für denselben: *) C=+20°, und, beiläufig, § 27. Isothermen nach dem van der Waals'schen Gesetze. Zwischen dem Volumen, v, eines Gases, dem Drucke, p, und der Temperatur, t, besteht nach van der Waals, **) die Beziehung 1) a (x + 1) (v—b) = (1 + a) (1—b) (1+at), in welcher wir a, b und a als constante Grössen ansehen wollen, auf deren Bedeutung es uns für das Folgende nicht ankommen möge. Man untersuche den Lauf, die Tangenten, Normalen u. s. w. derjenigen Linie, welche, bei unveränderlicher Temperatur, die Beziehung Nr. 1 auf ein rechtwinkliges System bezogen, darstellt, wenn das Volumen als Abscisse, der Druck als Ordinate angesehen wird. Es hat diese Isotherme eine sehr interessante Form. Werden die Grössen a und b vernachlässigt, so wird die Linie zu einer gleichseitigen Hyperbel. Näheres: van der Waals, a. a. O., Seite 87-91; Ostwald, allgemeine Chemie, Bd. 1, S. 202-203, 272-278; Horstmann, Landolt und Winkelmann, physikalische und theoretische Chemie, 1. Abth., v. J. 1885, S. 299-302. *) Ostwald, allgemeine Chemie, Bd. 1 (v. J. 1885), S. 283. **) Die Continuität des gasförmigen und flüssigen Zustandes. Übersetzt von Roth. 1881. S. 87. § 28. Beleuchtung wagerechter Ebenen. Die Stärke der Beleuchtung einer Ebene hängt bekanntlich ab von der Intensität der Lichtquelle, von der Entfernung der letzteren und von dem Winkel, unter welchem die Strahlen auftreffen. Im Anschlusse an diese Bemerkung mögen die fünf unter A bis E hier folgenden Aufgaben gelöst werden. A. In der mit dem Halbmesser a um den festen Punkt O beschriebenen Kreislinie x bewegt sich eine Lichtquelle Q (Fig. 6). Sie beleuchtet eine bei O befindliche sehr kleine horizontale Ebene. Es soll zunächst die Stärke, L, dieser Beleuchtung durch den Halbmesser a und den Einfallswinkel W ausgedrückt werden. Hierauf soll man den Lauf, die Tangenten, Normalen u. s. w. der jenigen Linien untersuchen, welche die Veränderlichkeit von L (also W A a Fig. 6. น die zwischen L und wo bestehende Beziehung) bei Benutzung von I. rechtwinkligen Coordinaten, II. Polarcoordinaten geometrisch darstellen. B. Eine bei B (Fig. 7) liegende sehr kleine wagerechte Ebene empfängt von einer bei C befindlichen Lichtquelle eine Beleuchtung, y, welche von dem Winkel ABC=x bekanntlich abhängt nach der Glei Die Linie, welche das Gesetz Nr. 1 in rechtwinkligen Coordinaten geometrisch darstellt, sei zu untersuchen in Bezug auf |