so ist der Punkt P nur im Scheitel in Ruhe; wenn hingegen so befindet er sich an allen Stellen der Führung im Gleichgewichte. Dass die Oberflächen homogener rotirender Flüssigkeiten Umdrehungsparaboloide sind (wenn nur die Schwere und die Centrifugalkraft wirken) steht hierzu in naher Beziehung. c. Vermischte Anwendungen. § 33. Die Fehlerwahrscheinlichkeitsfunction. Bei der Ausführung von Beobachtungen oder Messungen kommen bekanntlich kleine Abweichungen von der Wahrheit weit häufiger vor, als grosse. Die Theorie der Beobachtungsfehler lehrt, dass zwischen einem (positiven oder negativen) Fehler und seiner relativen Möglichkeit, oder der Häufigkeit seines Vorkommens, die Gleichung besteht, wobei e und die gewöhnliche Bedeutung haben, haber eine Constante bezeichnet, die von der Genauigkeit der betreffenden Beobachtung abhängt und sich deshalb nicht allgemein angeben lässt. *) Man untersuche den Lauf, die Tangenten, Asymptoten u. s. w. der Wahrscheinlichkeitscurve, nämlich derjenigen (auf ein rechtwinkliges System bezogenen) Linie, welche jenes Gesetz (Gl. 1) geometrisch darstellt, wenn die Fehler als Abscissen und die Häufigkeiten ihres Vorkommens als die zugehörigen Ordinaten aufgefasst werden. § 34. Das psychophysische Gesetz. Die von Fechner aufgestellte mathematische Formulirung des psychophysischen Gesetzes (von Weber) lautet: *) A. Meyer, Wahrscheinlichkeitsrechnung; 1879; S. 254. Wolf, Handbuch der Mathematik, Physik u. s. w.; Bd. 1, 1870; Nr. 207. Dabei bedeutet s die Stärke der Empfindung, r die Grösse des zugehörigen Reizes und o denjenigen Werth, welchen r hat, wenn s gleich Null ist. *) Die Grössen s und entweder als rechtwinklige, oder als Polarcoordinaten auffassend, untersuche man den Lauf u. s. w. der jenes psychophysische Gesetz darstellenden Curve. § 35. Das Wittstein'sche Sterblichkeitsgesetz. Die Sterbens wahrscheinlichkeit, w, des Menschen ist, nach Wittstein,**) wenn das Kindesalter ausser Betracht bleibt, ausgedrückt durch die Gleichung hingegen, wenn es in Betracht gezogen wird, durch 2) w=a−(M−x)" + 1 a — (m x)1 ̧ m Dabei bezeichnet x das Lebensalter, M das höchste Alter der Sterblichkeitstafel (etwa 95 Jahre), während a, m und n drei zu bestimmende Constanten sind, welche aus Beobachtungen hergeleitet werden können. Für die von Wittstein angegebenen Werthe a= 1,42423, m = 5, n= 0,63033, M=95 untersuche man den Lauf, die Tangenten u. s. f. derjenigen, auf ein rechtwinkliges System bezogenen Linie, welche das obige Gesetz Nr. 2 darstellt. Insbesondere berechne man das Lebensalter, für welches die Sterbens wahrscheinlichkeit am kleinsten ist, die Curve also einen Sohlpunkt hat. Beim Aufzeichnen der Linie benutze man für die Lebensalter (in Jahren) etwa das Millimeter als Einheit, dann aber für die Sterbenswahrscheinlichkeit 1 mindestens das Decimeter. *) Kohler, mathematische Formulirung des psychophysischen Gesetzes; 1886; S. 14-16. **) Das mathematische Gesetz der Sterblichkeit; 1881. (2. Aufl. 1883.) § 36. Die Spiralen der Konchylien. Wer sich für dieselben interessirt, sei auf die von A. H. Grabau i. J. 1882 unter obigem Titel (im Wesentlichen) veröffentlichte Abhandlung (Leipzig, J. C. Hinrichs) verwiesen. Es handelt sich in derselben um die Naumann'schen Konchospiralen, d. i. um Curven von der Gleichung 1) in welcher r= семф + k, und den Leitstrahl und die Anomalie bedeuten, e die Basis der natürlichen Logarithmen ist, c, u und k aber gewisse constante Grössen sind, von denen die beiden ersten als positiv angesehen werden dürfen, während für die letzte die drei Fälle k unterschieden werden müssen. Für k= 0 stellt die Gl. Nr. 1 logarithmische Spiralen dar. Untersuchung des Laufes, der Tangenten u. s. w. jener Naumann'schen Konchospiralen sei Denen empfohlen, welche für Konchylien besonderes Interesse haben. § 37. Eine Angebotscurve. Für Studirende der Naturwissenschaften, welche sich der Technik zuwenden, also vielleicht dereinst die Leiter von chemischen Fabriken, Hüttenwerken oder dergl. sein werden, ist es von Wichtigkeit, sich mit den Theorien der Volkswirthschaftslehre bekannt zu machen. Eine Anregung hierzu möge Folgendes bieten: Unter der Grösse des Angebotes versteht man die Menge des Gutes, welche ein Besitzer von seinem Besitzstande gegen ein fremdes Gut austauschen muss, um, bei einem Preisverhältnisse P1 das aus dem Besitze beider Arten von Gütern erreichbare P2 Maximum der Nützlichkeit zu gewinnen. Für einen besonderen Fall ist jene Grösse des Angebotes, nach Launhardt,*) ausgedrückt durch die Gl. *) Mathematische Begründung der Volkswirthschaftslehre. 1885. S. 22. gebotsgrösse als Ordinate und untersuche (bei Benutzung eines rechtwinkl. Systems) die durch die Gl. Nr. 1 gekennzeichnete interessante Angebotscurve bezüglich ihres Laufes, ihrer Tangenten, Asymptoten etc. B. DOPPELT GEKRÜMMTE LINIEN. (Curven im Raume.) § 38. Geometrische Darstellung zweier Gruppen von Beobachtungen. Zwischen zwei veränderlichen Grössen, u und v, bestehen, was durch genaue Messungen gefunden wurde, folgende Beziehungen: für u= 0, ist v = 0, Zwischen u und einer dritten Grösse, w, hingegen bestehen I. die zwischen u und v, bezüglich u und w, bestehenden Gesetze v=f(u) und w=g(u) unter der Voraussetzung herleiten, dass sie die allgemeine Form v = a + a1 u1 + аş u2 + Az u3, beziehentlich 3) 4) haben. w=b+b1 u1 + b2 u2 + b ̧ u 3 *) Auf 5 Decimalstellen abgerundet. Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th, I. 5 Hierauf soll man II. die veränderlichen Grössen u, v, w als rechtwinklige Coordinaten auffassen und diejenige doppelt gekrümmte Linie untersuchen, welche durch die für v und w gefundenen Gesetze bestimmt ist (wenn man letztere als die Gleichungen von Projectionen der Curve ansieht). Die Untersuchung soll liefern: a) die Winkel Tu, Tv, Tw, welche die, dem allgemeinen Punkte u v w zugehörende, Tangente jener Linie mit den Coordinatenachsen bildet (und Constructionen für jene drei Winkel); b) die Gleichungen jener Tangente; c) ihre Spuren, also diejenigen Punkte, in welchen die Berührende die drei Coordinatenebenen schneidet; d) die Gleichung der Normalebene; e) die Lage derjenigen Stellen, in welchen die letztgenannte f) die Länge des Krümmungshalbmessers; Das unter a bis h Gefundene soll auf den besonderen ist. Lösung. u = 2 Die unter Nr. 1 und 2 angeführten Werthe liefern die Beziehungen *) Fasst man u, v und w als rechtwinklige Coordinaten auf, so bestimmen die Gleichungen Nr. 4 und 5 die Schnittlinie zweier Cylinderflächen, von denen die eine über der in der uv-Ebene liegenden Curve |