(also über einer Parabel) steht, und zwar gleichgerichtet der w-Achse, die andere über der in der uw-Ebene befindlichen Linie

parallel zur v-Achse.

w= - ૫૩

Das unter a bis h Verlangte lässt sich, auf Grund der Gleichungen 4 und 5, leicht nach Formeln berechnen, welche man bezüglich der geometrischen Anwendungen der Differentialrechnung in den Lehrbüchern der Infinitesimalrechnung entwickelt findet, und führt zu sehr einfachen Ergebnissen.

§ 39. Bewegung einer starren Geraden auf zwei Führungen.

Fig. 11.

Der Anfangspunkt Q einer starren Geraden, von der (endlichen) Länge QR=a, läuft, von C aus (siehe Fig. 11) auf der festen, geradlinigen Führung CB mit der constanten (endlichen) Geschwindigkeit v nach B. Der Endpunkt R verschiebt sich hierbei auf der ebenfalls festen geradlinigen Führung O A, welche gegen CB die durch die Figur an

gegebene Lage hat, wobei

ов

B

OB=0C=a,

P

R

A

LAOB=LBOC=LCOA=90°.

Man soll diejenige Bahn untersuchen, welche der allgemeine Punkt P der Geraden QR beschreibt, nämlich berechnen: I. die Coordinaten des Ortes von P, als Functionen der Zeit t und bezogen auf ein System, für welches die Richtungen OA, OB und OC diejenigen der positiven x, bezüglich die der positiven y und z,. sind. Der Abstand RP soll hierbei mit k bezeichnet und die Zeit von demjenigen Augenblicke an gezählt werden, in welchem die Bewegung von Qin C beginnt.

II. Die Art (also zunächst die Gleichungen) der drei Projectionen der von P beschriebenen Bahn, wie auch die Art der Bahn selbst.

III. Die Winkel (Tx, Ty, Tz) welche die in P gezogene Bahntangente zu der Zeit t mit den drei bei I genannten Coordinatenachsen bildet.

Hierbei sollen die unter I und II gewonnenen Ergebnisse auf diejenigen besonderen Fälle angewendet werden, in welchen α) P mit Q

Ferner soll man das unter III Gefundene anwenden

a) auf denjenigen Augenblick, in welchem Q von C weggeht, P) im Halbirungspunkte von CB anlangt,

7) in B eintrifft.

Lösung. I. Für die Coordinaten des Ortes des Punktes P findet man leicht:

5)

z=k-y.

II. Die xy-Projection der Bahn hat die Gleichung

welche auch in den Formen

6) oder

Vy (k―y),

k2x2 + 2 (a — k)2 y2 — 2 (a — k)2 ky=0,

Es ist diese Bahnprojection also eine halbe Ellipse, die

wir nennen wollen, mit den Halbachsen

Die die Halbellipse begrenzende Achse liegt in der Strecke OB derartig, dass der eine Endpunkt mit O zusammenfällt.

Welche der beiden Halbachsen die grössere ist, hängt von dem Werthe desk ab; es ist nämlich

zu. Für Letztere gilt das im Anschlusse an Nr. 5 Gesagte. Es ist also diese Bahnprojection auch eine Halbellipse, e", congruent έ, und mit der begrenzenden Achse so in OC liegend, dass der eine Endpunkt nach O fällt.

9)

Die yz-Projection hat die Gleichung

z=k-y,

ist also eine Gerade, a", nämlich diejenige, welche die (nicht nach fallenden) Endpunkte derjenigen Achsen verbindet, von denen die vorher genannten Halbellipsen & und "begrenzt sind.

Aus dem Vorhergehenden folgt, dass der Punkt P in einer halben Ellipse, &, läuft, deren Grundriss e, deren Aufriss ε" und deren Seitenansicht". Die Halbachsen von & haben die

wird die Halbellipse zu einem Halbkreise. Der Radius des Letzteren hat die Länge

a

r ==

212

Man unterlasse nicht, die vier Linien έ', ε

"

und & in die Figur einzuzeichnen; am besten mit verschiedenen Farben, etwa die drei erstgenannten blau, die letztgenannte roth. III. Für die Cosinus der Tangentenwinkel findet man leicht Folgendes:

13) u = Va{(a - 2k) (a — √ 2 vt)2 + ak2}

.

Wendet man die vorstehenden Gleichungen auf die in der Aufgabe genannten besonderen Fälle an, so gelangt man zu höchst einfachen Ergebnissen, die sich leicht durch die Anschauung bestätigen lassen. Die Aufsuchung derselben möge dem Leser dieses Buches überlassen bleiben.

Anmerkung. Da vt durch x, y oder z ersetzbar ist (laut Nr. 1, 2, oder 3), so können die Cosinuswerthe der Winkel Tx, Ty und tz auch so dargestellt werden, dass sie nicht durch die Geschwindigkeit und die Zeit, sondern durch eine der Coordinaten des Punktes P ausgedrückt sind. Es entspricht das aber nicht dem Wortlaute der Aufgabe.

§ 40. Gleichgewicht eines Punktes auf einer doppelt gekrümmten Linie.

Die starre Bahn sei gegeben durch die Gleichungen

ihres Grundrisses, bezüglich Aufrisses. Der auf ihr bewegliche Punkt möge von beliebigen Kräften beeinflusst werden.

Man soll zunächst die für das Gleichgewicht des Punktes geltende analytische Bedingung ermitteln und angeben, wie unter Benutzung derselben diejenigen Stellen bestimmt werden können, an denen das Erstgenannte herrscht.

Hierauf soll das Gefundene auf die Schnittlinie eines Kugeloctanten und einer Cylinderfläche Anwendung finden unter der Voraussetzung, dass der bewegliche Punkt der Einwirkung dreier Kräfte unterliegt, welche, im Sinne der positiven Coordinaten des rechtwinkligen Systems, proportional x, bezüglich y und z sind, für x= =y=21 aber die Intensitäten A, B und C haben. Die Cylinderfläche soll, der g-Achse parallel, über einem in der xy-Ebene liegenden Halbkreise stehen, dessen begrenzender Durchmesser mit der x-Achse so zusammenfällt, dass der eine Endpunkt des letzteren sich im Coordinatenanfange befindet. Der Kugeloctant möge, mit dem Radius a, um den letztgenannten Punkt beschrieben sein. Der Durchmesser des vorher bezeichneten Halbkreises sei ebenfalls gleich a.

Lösung. Wir ersetzen die auf den Punkt wirkenden beliebigen Kräfte durch drei im Sinne der positiven Coordinaten thätige, die U, V und W heissen mögen. Ferner denken wir uns den Widerstand, welchen die starre Bahn leistet, vertreten durch eine senkrecht zu der letzteren sich äussernde Kraft N. Sodann drücken wir analytisch aus, dass die vier Kräfte sich gegenseitig aufheben und finden auf diesem Wege

3)

dy dz
U+V +W! 0
dx dx

als Gleichgewichtsbedingung. (Näheres: Fuhrmann, Aufgaben aus der analytischen Mechanik, S. 28 der 2. Auflage des I. Theiles.) Durch Verbindung der Gleichungen Nr. 1, 2 und 3 ergeben sich die Coordinaten derjenigen Stellen der Bahn, an welchen sich der Punkt im Gleichgewichte befindet.

In dem genannten besonderen Falle liegen diese Stellen. da, wo die starre Schnittlinie sich in der xz-Ebene befindet, und bei a (C- B) X= 2 (A-B)*

4)

Der letztgenannte Werth ist, aus naheliegendem Grunde, nur brauchbar, wenn er positiv ausfällt. *)

§ 41. Linien gleicher Anziehung.

Ein fester Punkt, C, dessen Coordinaten (a, b und c) in Bezug auf ein räumliches, rechtwinkliges System man kennt, wirke *) Man beachte die am Fusse der Seite 60 stehende Bemerkung.