Der Schnitt, parallel zur z-Ebene im Abstande h2, ist (was sofort aus der betreffenden Gleichung folgt) eine gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten sind die durch die Schnittebene erzeugten Parallelen zu den Coordinatenachsen. Die Halbachse

Jeder parallel zur yz-Ebene (im Abstande h) erzeugte Schnitt ist eine Gerade, welche die Strecken

auf den Parallelen zur y-Achse, bezüglich z-Achse, abschneidet. Man darf sich also, zweitens, die Fläche auch durch eine Gerade beschrieben denken, welche, auf der Hyperbel p und der Geraden s gleitend, der yz-Ebene parallel bleibt.

Die Scheitel derjenigen Schnittlinien, deren Ebenen der xz-Ebene parallel sind (also der unendlich vielen gleichseitigen Hyperbeln) bilden eine gemeine Parabel, welche heissen möge. Ihre Achse fällt mit der y-Achse zusammen. Der Scheitel

Es kommt von der Parabel nur die eine Hälfte in Betracht.

Man darf sich also, drittens, die Fläche durch die Peripherie einer veränderlichen gleichseitigen Hyperbel beschrieben denken, welche mit ihrem Scheitel auf einer festen Leitparabel, nämlich der soeben genannten, derartig gleitet, dass die Hyperbelebene der xz-Ebene parallel ist und der Asymptotenschnittpunkt in der y-Achse liegt.

Dem Vorausgegangenen entnimmt man leicht, dass die das Mariotte-Gay-Lussac'sche Gesetz darstellende Fläche ein hyperbolisches Paraboloid ist (von welchem jedoch nur zwei Octanten in Betracht kommen). Es kann das auch schon ohne Untersuchung der Spuren und der Schnitte aus der Form der Gleichung Nr. 4 ersehen werden.

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Der Scheitel des Paraboloids liegt in dem Schnittpunkte der Geraden s und t; die Achse fällt mit der y-Achse zusammen und

die oben genannte Parabel 7 ist die Leitlinie für den Scheitel der die Fläche beschreibenden gleichseitigen Hyperbel.

III. Die in dem allgemeinen Flächenpunkte xyz berührende Ebene hat die Gleichung

wobei mit, und die Coordinaten des allgemeinen Punktes der Tangentialebene bezeichnet sind.

14)

Es kann diese Gleichung auch in der Form

gegeben werden.

z―ck n + x = c(2+ky)

Laut Nr. 14 haben die Abschnitte a, ẞ und 7, welche die berührende Ebene auf den drei Coordinatenachsen bildet, die Werthe

man be

Dieselben lassen sich sehr leicht construiren, wenn achtet, dass durch die Gleichung Nr. 2 gegeben ist, c aber aus der xz-Spur der Fläche entnommen werden kann.

IV. Für die Cosinus derjenigen Winkel, welche die Flächennormale mit den Coordinatenachsen bildet, findet man leicht:

Da sich der Wurzelwerth bekanntlich aus den Strecken x, z und ck construiren lässt, so ist auch die graphische Darstellung der Winkel x, Vy und v1⁄2 (gemäss 18 bis 20) selbstverständlich. V. In dem besonderen Falle

also die Halbachsenlänge 3,0995. Den zu Nr. 21 gehörenden Ordinaten kommen die Werthe

zu.

24)

z=6,199 bis z= = 0,387

Man zeichne die zu 21 bis 24 gehörenden beiden Hyperbeln, hierbei bezüglich der y-Achse eine Verkürzung benutzend, die auf etwa der wahren Längen herabdrückt. Ferner zeichne man die früher genannten Geraden s und t; endlich die unter V, c, in der Aufgabe verlangten 7 Schnitte. Es giebt das ein deutliches Bild der Fläche, besonders dann, wenn verschiedene Farben benutzt werden.

VI. Die in dem Punkte

x=1, y=0, z=1

berührende Ebene schneidet auf den Coordinatenachsen die Strecken 25) a=2, 8=-546, 7=2

ab. Ferner haben die Cosinus der Neigungswinkel der Normale die Werthe

Hiernach sind die Winkel x und v2 sehr wenig grösser als 45°, y ist etwas grösser als 90o. Das stimmt mit der Anschauung.

§ 44. Seitenstücke zu dem vorigen Gesetze.

Wenn in dem analytischen Ausdrucke eines naturwissenschaftlichen Satzes drei veränderliche Grössen vorkommen, wie z. B. in dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze (§ 43), so lässt sich jener Satz durch eine Fläche geometrisch darstellen, indem

man die Veränderlichen als Coordinaten des allgemeinen Punktes der Fläche auffasst.

Welche Art von Coordinaten man hierbei mit Vortheil benutzen wird, ist Sache des besonderen Falles, hängt nämlich von der Natur des betreffenden Satzes ab.

Solche den Naturwissenschaften angehörende Sätze zu nennen

und einige derselben geometrisch zu behandeln

etwa so, wie

es im vorigen Paragraphen bezüglich des Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetzes erfolgt ist möge hiermit empfohlen sein.

§ 45. Gleichgewicht eines Punktes auf einer Fläche.

Die starre Fläche sei, bezogen auf ein rechtwinkliges System, durch die Gleichung

gegeben; der auf ihr bewegliche Punkt, P, möge von beliebigen Kräften beeinflusst werden.

Man soll zunächst die für das Gleichgewicht des Punktes geltenden analytischen Bedingungen ermitteln und angeben, wie unter Benutzung derselben diejenigen Stellen bestimmt werden können, an denen das Erstgenannte herrscht.

Hierauf soll das Gefundene auf den besonderen Fall angewendet werden, in welchem die führende Fläche diejenige eines dreiachsigen Ellipsoids ist und auf den Punkt drei unveränderliche Kräfte, A, B, C, wirken. Letztere sollen parallel zu den Coordinatenachsen, und in jedem Octanten nach aussen, thätig sein. Die Ellipsoidfläche möge ihren Mittelpunkt im Coordinatenanfange haben; die Halbachsen, a, b, c, sollen mit den Achsen der x, y und z zusammenfallen.

Lösung. Wir ersetzen die auf P wirkenden beliebigen Kräfte durch drei im Sinne der positiven Coordinaten thätige, die U, V und W heissen mögen. Ferner denken wir uns den durch die Fläche geleisteten Widerstand durch eine Kraft, N, vertreten, welche senkrecht zur Ersteren sich äussert. Die von N und den Achsen des Coordinatensystems gebildeten Winkel nennen wir

(Näheres :

als Bedingungen für das Gleichgewicht. Fuhrmann, Aufgaben aus der analytischen Mechanik, S. 31 der 2. Aufl. des I. Theiles).

Verbindet man Nr. 1, 2 und 3, so liefern sie die Coordinaten derjenigen Flächenstellen, an welchen der Punkt P im Gleichgewichte ist.

Für den in der Aufgabe genannten besonderen Fall ergeben sich die Werthe

7)

VA2 a2 + B2 b2 + C2 c2 = R

gesetzt ist, als Coordinaten jener Gleichgewichtsstellen. *)

§ 46. Die Beleuchtung gesetzmässig gestalteter Flächen. Die einfachste Art der Beleuchtung ist die durch parallele Lichtstrahlen, deren Wirkung von der Länge der Strahlen nicht abhängt, also die sogenannte Parallelbeleuchtung. Sie stimmt mit der durch das Sonnenlicht bewirkten nahezu überein. Man unterscheidet wahre und scheinbare Beleuchtung. Die Erstere ist die auf der betreffenden Fläche thatsächlich vorliegende, hängt also nur ab von der Intensität, K, des beleuchtenden Bündels (paralleler Strahlen) und von der Stellung der Flächenelemente gegen die Richtung jenes Bündels, also von dem Winkel, a, den die Lichtrichtung mit der Flächen normale bildet. Die scheinbare Beleuchtung hingegen ist diejenige, welche nicht nur von Kund a abhängt, sondern auch von der Sehrichtung des Beobachters.

*) Man beachte die am Fusse der Seite 60 stehende Bemerkung. Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. I.

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