Demgemäss liefern die Gleichungen 6, 8 und 9 die Werthe:

deren letztgenannte selbstverständlich ist.

Für das genannte Zahlenbeispiel ergiebt sich :

Fig. 41.

n = 60 Centimeter.

§ 27. Anregungen und Anmerkungen,

einfache Integrationen aus den Gebieten der Elektricitätslehre, Volkswirthschaft und Statistik betreffend.

A.

Diejenigen, welche den Kreis der vorausgegangenen Anwendungen der einfachen Integration durch einige Aufgaben aus der Elektricitätslehre zu erweitern wünschen, werden gut thun, das unter I bis III Folgende zu behandeln (und zwar im Sinne der dabei genannten Literatur):

I. Die Vertheilung der Elektricität auf einer kreisförmigen unendlich dünnen Scheibe. (Exner, Vorlesungen über Elektricität, S. 69-71.)

II. Die Capacität einer derartigen Platte und eines geraden Kreis cylinders. (Exner, ebenda, S. 209-210, 214–217).

III. Die Verzweigung des galvanischen Stromes in körperlichen Leitern für den Fall, dass letztere kreisFuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Thl. II.

8

förmig und concentrisch sind, aufgestellt in einer Flüssigkeit von bekanntem specifischen Widerstande. Beispiel: Die Kupfer- und Zinkcylinder der Daniell'schen Kette. (Es ergiebt sich, dass der Widerstand der zwischen den beiden Leitern befindlichen Flüssigkeitsschicht nur von dem Verhältniss der Halbmesser abhängt. Näheres: Wiedemann, Lehre von der Elektricität, Bd. 1, S. 368 und 369.) Ferner für den Fall zweier kreisförmigen Platten, welche in einer Flüssigkeit derartig einander gegenüber gestellt sind, dass die Verbindungsgerade der Mittelpunkte auf beiden senkrecht steht. (Wiedemann, ebenda, S. 369 und 370.)

B.

Interessante der Volkswirthschaftslehre

und der

Statistik angehörende Verwendungen der Integralrechnung enthalten die im „Literaturverzeichniss" genannten Arbeiten von Launhardt und Zeuner; das Studium derselben möge hiermit empfohlen sein.

Capitel II.

MEHRFACHE INTEGRATIONEN.

§ 28. Einleitung.

A.

Berechnung einiger Integralwerthe.

Von der Theorie der mehrfachen Integration sollen im Nachfolgenden nur die Anfangsgründe als bekannt vorausgesetzt werden. Man sehe, wenn nöthig, Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, Bd. 1, § 95-102 der fünften Auflage, oder die entsprechenden Abschnitte anderer Lehrbücher der Infinitesimalrechnung.

Zunächst möge das Berechnen der Werthe mehrfacher bestimmter Integrale an einigen einfachen Beispielen geübt werden, welche später (bei der Behandlung von Cubaturen, Anziehungen und Trägheitsmomenten) Ausnutzung finden. Es sei die Aufgabe gestellt:

zu berechnen (wobei nur x und y veränderlich sind).

Als Vorbereitung auf die folgenden Paragraphen soll nun die Doppelintegration für eine sehr bekannte Flächeninhaltsberechnung Anwendung finden und zwar so, dass gleichzeitig der Zusammenhang zwischen den betreffenden einfachen und zweifachen Integralen hervortritt.

Es sei die Aufgabe folgende: Der Inhalt S des mit dem Halbmesser A = a beschriebenen Viertelkreises AOB (Fig. 42 – 45) soll ausgedrückt werden.

I. durch ein einfaches Integral, indem man ihn zusammen

a) aus unendlich vielen (unendlich schmalen) trapez

förmigen Streifen, welche der Y-Achse gleichgerichtet liegen (Fig. 42),

B) aus unendlich vielen Sectoren (Fig 43);

II. durch ein Doppelintegral

a) bei Benutzung von rechtwinkligen Coordinaten (O Qo=x, Qo Qy; Fig. 44),

P) unter Anwendung von Polarcoordinaten (OR=r, ≤AOR=0, Fig. 45).

Lösung. I. Benutzt man als Flächenelement (d S) einen Streifen, dessen Länge P' P=y (Fig. 42) und dessen Breite das Differential von OP'x, so ist