Wird hingegen (Fig. 43) die Fläche aus unendlich vielen Sectoren zusammengesetzt und dabei der Winkel AOP mit 0 bezeichnet, so hat man: Bei den durch Nr. 8 und 10 ausgedrückten Quadraturen hat das Flächenelement nur eine unendlich kleine Dimension (bei den unter II folgenden besitzt es deren zwei). II. Denkt man sich den allgemeinen Punkt Q der Fläche (Fig. 44) bestimmt durch die rechtwinkligen Coordinaten O Qo X, Qo Q y und lässt jede derselben um ihr Differential wachsen, so ergiebt sich 11) mithin = dS=dx dy, Kommen hingegen Polarcoordinaten zur Verwendung wird also der allgemeine Flächenpunkt R (Fig. 45) bestimmt durch den Leitstrahl OR=r und die Anomalie AOR=0, so gilt für den Inhalt des Flächenelementes (welches dann die Form eines Kreisringsectors hat) die Gleichung: Bei Nr. 14 ist durch die erste Integration ein unendlich schmaler Sector gebildet und es sind dann, durch die zweite Integration, alle derartigen Sectoren addirt. Bei Nr. 15 hingegen liefert die erste Integration einen unendlich schmalen Viertelkreisring und es werden bei der zweiten alle derartigen Ringflächen summirt. Berechnet man die unter Nr. 8, 10, 12, 14 und 15 stehenden Integralwerthe was der Anfänger nicht unterlassen möge ergiebt sich selbstverständlich in jedem der fünf Fälle: SO Um ferner das später Folgende bezüglich der dreifachen Integration vorzubereiten, wie auch um der letzteren Beziehung zur doppelten und zur einfachen Integration einzuüben, möge folgende Aufgabe gelöst werden: Ein Kugeloctant OABC (Fig. 46, 47 und 48) ist mit dem Halbmesser a aus dem Punkte O beschrieben. Es soll das Volumen V jenes Octanten ausgedrückt werden I. durch ein einfaches Integral, indem man V zusammen setzt aus unendlich dünnen, zu OAB parallel liegenden Schichten (Kreisscheiben-Quadranten), deren eine in der Fig. 46 durch PQR angedeutet ist, 6) aus unendlich dünnen Hohlkugel-Octanten (RST, Fig. 46), sodann 7) aus derartigen Hohlcylinder-Quadranten (PQUV)*); II. durch ein Doppelintegral, indem man Vaus stab- a) durch die rechtwinkligen Coordinaten OL=x, 8) durch die Polarcoordinaten AOP' = 0 und OP'r; 7) durch ein Doppelintegral, indem man Vaus Kugelpyramiden zusammensetzt, hierbei P (Fig. 47) sich bestimmt denkend durch P'LP: LOP=q; endlich = und III. durch ein dreifaches Integral, wobei der allgemeine Punkt P (Fig. 48) des Octantenvolumens bestimmt gedacht sein soll a) mittelst der rechtwinkligen Coordinaten OL=x, LPoy, Po P=2, oder P) mittelst der cylindrischen AOP1 = 0, *) Die Formeln, welche für den Flächeninhalt des Kreises, die Oberfläche der Kugel und den Mantelflächeninhalt des Cylinders gelten, sollen bei I (α, ß, y) als bekannt vorausgesetzt werden. 7) durch die räumlichen Polarcoordinaten <PLP=w, <LOP=9, 0P=ç. Bei der unter III genannten Ableitung von V sollen die Volumenelemente in der Reihenfolge z, y, x integrirt werden, bei III in der Folge z, 0, r, endlich bei IIIY in der Reihenfolge e, w, p. Lösung. I. a) Es sei, in der Fig. 46, OR=2; dann ist das Volumen einer unendlich dünnen Schicht: P) Für das Volumen des unendlich dünnen Hohlkugel-Octanten Von den drei Integralen Nr. 18, 20 und 23 ist offenbar Nr. 20 das günstigste. Es rührt dies daher, dass die für dasselbe gewählte Elementeform sich der Art des betreffenden Körpers am besten anschliesst. II. a) Hier ist (weil rechtwinklige Coordinaten vorliegen) das stabförmige Volumenelement P) Sind hingegen für P (Fig. 47) die cylindrischen Coordinaten AOP'0, OP'r, P' Pz gegeben, so hat das P'P=z stabförmige Volumenelement den Werth 26) dV = (r do dr) z = √ a2 — r2 r dr do; =S √ √ a2 = r2r drão, Ꮴ = 00= =0 Sva2 = r2r do dr. |