soll, unter Verwendung rechtwinkliger Coordinaten, durch ein Doppelintegral ausgedrückt werden.

Hierauf soll man, durch geeignete Substitutionen, die elliptischen Grenzen in constante verwandeln und dann den Werth des Integrals berechnen.

Lösung. I. Man hat zunächst, bezogen auf Fig. 51 und bei Anwendung von rechtwinkligen Coordinaten,

48)

dV1 = z dx dy,

wobei x=OL, y=LM, z=MP ist. 2=

Wird nun der Werth

1

von z als f(x, y) der Gleichung der Ebene A, B, C1 entnommen und in Nr. 48 eingesetzt, so ergiebt sich:

Werden cylindrische Coordinaten benutzt, wird also P (Fig. 51) bestimmt gedacht durch OM=r, ▲ AOM=0, MP: so tritt an die Stelle von Nr. 49:

Anmerkung zu I. Das Integral Nr. 54 ergiebt sich auch, wenn man in 50 zwei neue Veränderliche

mittelst der Substitutionen

einführt, welche bekanntlich zu benutzen sind, wenn die Umwandelung von (veränderlichen) Kreisgrenzen in constante Grenzen erfolgen soll.

Die hier vorliegenden elliptischen Grenzen werden bekanntlich*) in constante verwandelt durch die Substitutionen x=aQ cos 0, y = bo sin 0.

57)

(was z. B. im § 29, unter C, zur Anwendung gelangt).

Anmerkung zu II. Als Zahlenbeispiel kann die Berechnung des Volumens der Erde dienen, indem letztere als Umdrehungsellipsoid und zwar mit den, in Kilometern ausgedrückten, Halbachsen

a=6377, c=6356**)

60) aufgefasst wird. Man führe dieses Zahlenbeispiel durch, V2 in Cubikmeilen ausdrückend (die geographische Meile zu 7,420 Kilometer).

Auch zeige man, wie sich die Gleichung 59 durch einfache Integration erhalten lässt, wenn der den Flächeninhalt der Ellipse betreffende Satz als bekannt vorausgesetzt werden darf.

§ 29. Mittelwerthe einer Function von zwei Veränderlichen.***)

A.

Allgemeines über derartige Mittelwerthe.

Eine Variabele, die wir z nennen wollen, möge von zwei anderen, die x und y heissen sollen, abhängen nach einer Gleichung von der Form

*) Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, § 97, II, der 5. Auflage.

**) Helmert, Theorien der höheren Geodäsie; Band 1, S. 38. Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. 2, S. 33 der 2. Auflage.. ***) Man vergleiche § 7-11.

Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Thl. II.

9

z. B. ein Gasvolumen von einem Drucke und einer Temperatur nach dem Mariotte-Gay-Lussac'schen Gesetze. (Theil I, § 43.)

Man kann dann die Gleichung Nr. 1 als diejenige einer Fläche auffassen, indem man die Veränderlichen x, y und z als rechtwinklige Coordinaten ansieht. Es möge jene Fläche in der Figur 53 durch FF veranschaulicht sein (wobei x durch O L, y durch L M, z durch MP dargestellt und FF durchsichtig gedacht wurde).

Wenn dann den beiden unabhängigen Veränderlichen x und y ein bestimmter Spielraum vorgeschrieben ist

etwa der in der Figur mit A。 B。 B1 A1 bezeichnete so darf man sich denselben (durch Parallelen zu den Coordinatenachsen) schachbretartig in n kleine Rechtecke von den Seitenlängen 4x und 4y zerlegt denken. Man kann sich ferner vorstellen, dass für sämmtliche Ecken jener Rechtecke die zugehörigen z construirt worden seien und man für ein unendlich grosses n deren arithmetisches Mittel μ abgeleitet habe. Letzteres heisst dann (entsprechend § 7, A) der ,,Mittelwerth" von in Bezug auf den genannten Spielraum.

Es soll nun dieser Werth u durch ein bestimmtes Doppelintegral ausgedrückt werden, indem man sich den Spielraum gegeben denkt durch die Gleichungen

der Linien A。 Bo, bezüglich A1 B1, und durch die Abscissen

4)

1

Der Inhalt der Fläche A。 Bo B1 A1 möge hierbei S heissen. Anmerkung. Dass bezüglich der Eindeutigkeit, Endlichkeit und Stetigkeit der betreffenden Functionen hier und im Folgenden naheliegende Voraussetzungen gemacht sind, (vergleiche § 7, A) braucht nicht besonders ausgesprochen zu werden, weil es, unter gehöriger Berücksichtigung der Figuren, für selbstverständlich gelten darf. Lösung. Für S gilt die Gleichung

S =n.4x4y.

Lässt man n ins Unendliche wachsen, womit 4x4y in dx dy übergeht, so ist das arithmetische Mittel u der sämmtlichen z-Werthe, welche zu den unendlich vielen Flächenelementen (von dem Inhalte dx dy) gehören, ausgedrückt durch

wobei f(x, y) 4x4y so so viel bedeutet, wie ,,Summe aller Grössen von der Form f(x, y) ≤ x ≤ y“ und diese Summe innerhalb des bezeichneten Spielraumes gemeint ist. Es steht also im Zähler eine zwischen den Grenzen yo und yi, xo und x1 zu nehmende Doppelsumme von unendlich vielen unendlich kleinen Grössen, welche die allgemeine Form f (x, y) d x d y haben. Aus Nr. 6 folgt daher, gemäss der Definition *) des bestimmten Doppelintegrals : X1 Y1

7)

1

μ - s f f f ( x, y ) d x d y

=

xo yo

als der gesuchte Mittelwerth.

*) Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, § 95 der

5. Aufl.

Geometrisch aufgefasst lautet das: Der durch die Gleichung Nr. 7 bestimmte Mittelwerthu einer Function zweier Veränderlichen ist gleich der Höhe eines Cylinders, welcher den Spielraum Ao Bo B1 A1 zur Grundfläche und mit dem über letzterem stehenden Körper Ao Bo B1 A1 Co Do Di C1 (Fig. 53) gleiches Volumen hat.

1

Es kommt also die Berechnung eines derartigen Mittelwerthes zurück auf eine Cubatur; ferner, da auch S bestimmt werden muss (weil es, im Allgemeinen, unbekannt ist) auf eine Quadratur, nämlich auf eine Anwendung der Gleichung

Mittelwerth eines Gasvolumens.

Als erstes Beispiel für die Anwendung des Satzes Nr. 7 möge die Lösung folgender Aufgabe dienen:

Es soll unter Zugrundelegung des Mariotte-Gay-Lussac' schen Gesetzes (Th. I, § 43) der durch die Gleichung Nr. 7 definirte Mittelwerthu eines Gasvolumens berechnet werden für den Fall, dass die auf die Flächeneinheit bezogenen Drücke zwischen den Werthen a1 und α, liegen (wobei 0 <α1 <a2 vorausgesetzt ist), die Temperaturen zwischen O und dem positiven Werthe b. Lösung. Man hat, gemäss der Gleichung 7, und wenn die im § 43 des I. Theiles benutzten Bezeichnungen wieder Verwendung finden:

Mittlere Abstände der Erdoberfläche von der Ebene des Aequators und eines Meridians.

Ein zweites Beispiel für die Anwendung der Gleichung 7 auf Seite 131 sei folgendes: