in welcher c eine constante, positive Strecke bedeutet, gekennzeichnet werde. Das unter I Gefundene soll zur Bestimmung des mittleren Gewichtes h nutzt werden. Das bei II Erhaltene möge man auf denjenigen besonderen Fall anwenden, in welchem a = 0,5, c = 0,01, 0,02 Meter ist und das Cubikcentimeter 3 Gramm wiegen würde, wenn der Abstand desselben von der Cylinderachse durchweg 5 Centimeter betrüge. = Lösung. Die Benutzung unendlich dünner Hohlcylinder führt im ersten Falle auf die Gleichung Für c=0 giebt Nr. 8 zunächst einen unbestimmten Werth, kommt aber bei näherer Untersuchung des betreffenden vieldeutigen Symbols (0.∞) auf die Gleichung 6 zurück. Letztere ergiebt sich auch (und zwar schneller), wenn man in Nr. 7 (statt in 8) den Abstand c verschwinden lässt. Das mittlere Gewicht der Volumeneinheit hat in dem Falle I den Werth ist also das Doppelte von demjenigen, welches in der Mantelfläche des Cylinders herrscht. Für den am Schlusse der Aufgabe genannten besonderen Fall ergiebt sich Das Gewicht P des im Vorhergehenden behandelten geraden Kreiscylinders (Höhe h, Grundflächenhalbmesser a) möge nun berechnet werden unter der Voraussetzung, dass die Dichtigkeit des Körpers umgekehrt proportional sei dem Quadrate des senkrechten Abstandes z der Basis, ferner unter der Annahme, dass für 1 die Volumeneinheit das Gewicht k habe. Dabei soll P Herleitung finden I. durch bestimmte Integration, = II. indem man den Cylinder in eine endliche Anzahl, m, gleich hoher Schichten zerlegt, die Gewichte derselben näherungsweise aus den in den betreffenden Deckflächen herrschenden berechnet und schliesslich m ins Unendliche wachsen lässt. Zu demselben Ergebniss kommt man auch auf dem unter II genannten Wege. Wird nämlich näherungsweise angenommen, dass innerhalb einer jeden der m Schichten die Dichtigkeit unveränderlich sei und die Volumeneinheit so viel wiege, als sie thatsächlich in der Deckfläche der betreffenden Schicht wiegt, so ergiebt sich also für m∞ wieder Nr. 13. Bei dieser Art der Behandlung genügt es übrigens, nur die unterste der m Schichten in Betracht zu ziehen. Sie hat, nach der festgesetzten Annahme, das Gewicht was, für m∞, bereits auf Nr. 13 führt, ohne dass die anderen Schichten beachtet werden. D. Zur Verallgemeinerung des unter C Vorausgegangenen soll jetzt angenommen werden, dass die Gleichung für das Gewicht der Volumeneinheit des Cylinders gelte und n dabei irgend eine constante, positive oder negative, endliche Zahl sei. Bei der Berechnung von P sollen die Fälle n-1 und n = - 1 sachgemässe Unterscheidung finden. Das Ergebniss möge auf Zu Nr. 20 führt die Gleichung 17 auch in dem Falle n=-1, für welchen man bekanntlich auf den natürlichen Logarithmus kommt, Ferner ergeben sich aus dem Vorhergehenden die Werthe deren letztgenannter bereits unter C abgeleitet wurde. Fuhrmann, Anwendungen d. Infinitesimalrechnung. Th. II. 5 E. Eine Pyramide hat die Höhe h, den Grundflächeninhalt g. Die Dichtigkeit ist proportional der nten Potenz des senkrechten Abstandes von der Basis und für die Einheit desselben gleich k. Man soll die Masse M des Körpers für die Fälle n = +3 und n = =- 3 berechnen. wobei z den senkrechten Abstand des allgemeinen Punktes von der Grundfläche bezeichnet. Die Masse beträgt also kgh. derjenigen, welche vorhanden sein würde, wenn die Pyramide überall die in ihrer Spitze herrschende Dichtigkeit hätte. Für einen geraden elliptischen Kegel von der Höhe h sind a und b die Halbachsenlängen der Grundfläche. Die Dichtigkeit ist proportional dem Quadrate des Abstandes von der Basis und hat für die Einheit desselben den Werth k. Die Masse M und die mittlere Dichtigkeit Om sollen berechnet werden. also für die mittlere Dichtigkeit 10 Procent derjenigen, welche der Spitze des Kegels zukommt. G. Endlich möge es sich um die Herleitung der Masse M und der mittleren Dichtigkeit 0m einer Kugel handeln I. unter der Voraussetzung, dass die Dichtigkeit dem Abstande vom Mittelpunkte, II. unter der Annahme, dass sie dem von der Aequatorebene proportional sei und dabei für die Einheit eines jeden dieser beiden Abstände den Werth k habe. Lösung. Unendlich dünne Hohlkugeln als Elemente benutzend, findet man im ersten der beiden Fälle also den Satz, dass die mittlere Dichtigkeit von derjenigen ist, welche an der Kugeloberfläche herrscht. Ferner ergiebt sich, unter Verwendung kreisscheibenförmiger Elemente, für den zweiten Fall: d. i. der den Kugelpolen zukommenden Dichtigkeit. § 18. Schwerpunkte *). A. Wenn die Lage des Schwerpunktes einer Linie, einer Fläche, oder eines Körpers berechnet werden soll, so ist durch Gleichungen auszudrücken, dass die Summe der statischen Momente aller Gewichtselemente gleich sein muss dem statischen Momente des Gesammtgewichtes **). Je nach der Art der hierbei zur Benutzung kommenden Elemente sind die auftretenden Integrale einfache oder mehrfache. Beispiele, welche dem Gebiete der einfachen Integration angehören, folgen hier unter B bis G, während solche, die sich auf mehrfache Integrale beziehen, im § 32 zur Behandlung gelangen. B. Die Gleichung der auf ein rechtwinkliges System bezogenen einfach gekrümmten Linie APB (Fig. 21) sei 1) y = f(x), wobei OP' = x, P'P=y; die Einheit der Bogenlänge s möge *) Man vergleiche § 32. **) Näheres: Fuhrmann, Aufgaben aus der analytischen Mechanik, Th. I, S. 36 der 2. Auflage. |