das, im Allgemeinen veränderliche, nämlich nach irgend einem Geabhängende, Gewicht y haben.

setze von

Man soll die Coordinaten

OU', U'Un
η

des Schwerpunktes U berechnen (durch Integrale ausdrücken), auch

das Ergebniss auf einen besonderen Fall anwenden, nämlich auf den, in welchem die Curvengleichung lautet:

Lösung. Wird das Gewicht der Linie mit p bezeichnet, die Länge der Anfangsabscisse OA' mit xo, die Endabscisse OB uit 1, so drückt die Gleichung

3

aus, dass, bezogen auf die Y-Achse, das statische Moment des Bogengewichtes gleich ist der Summe der statischen Momente aller Gewichtselemente. (Man vergleiche A.)

ist und für das Bogendifferential bekanntlich die Gleichung ds=√dx2 + dy2 = √1+y'a dx

8)

Giltigkeit hat.

Bei unveränderlichem Gewichte der Längeneinheit des Curvenbogens gehen die Gleichungen Nr. 5 und 6 in die einfacheren

über, für welche die Bogenlänge s bestimmt ist durch

-

nämlich a

A

+Y

Fig.22.

B

C

PB

+X

, in die Gleichungen 9. bis 11 ein, so ergeben

sich für die Coordinaten des Schwerpunktes des Bogens AB die

Werthe

12)

und

wobei x1 = 0 B' ist und y1 = B'B.

Für den ganzen Quadranten APBC folgt hieraus:

Zur Ergänzung und Erweiterung des Vorhergehenden soll nun die Aufgabe gestellt werden: Die Coordinaten, und des Schwerpunktes einer doppelt gekrümmten Linie zu berechnen. Letztere möge, bezogen auf ein rechtwinkliges System, durch die Gleichungen

2= ❤ (x)

ihres Aufrisses gegeben sein; ferner soll die Bogenlänge von x = Xo bis x = x1 in Betracht kommen und die Längeneinheit das, im Allgemeinen veränderliche, Gewicht 7 haben. γ

Lösung. Wir bezeichnen die Bogenlänge wieder mit s, das Bogengewicht mit p. Dann ist analytisch auszudrücken, dass das statische Moment von p, bezogen auf jede der drei Coordinatenebenen, gleich ist der Summe der statischen Momente aller Gewichtselemente. Dies führt zu den Gleichungen

X1

dx

dx.

2

2

1

dx.

22) p = Ĵds = Ĵà 1+(dv)2 + (da)" az

γ

dx

In welcher Weise sich diese Gleichungen vereinfachen, wenn ein constantes y vorliegt, darf wohl für selbstverständlich gelten. Anmerkung. Man führe dies näher durch und wende das Ergebniss auf einen besonderen Fall an, etwa auf die Herleitung der Schwerpunktscoordinaten der im § 14 untersuchten Bahn, deren Länge s dort schon berechnet wurde.

D.

Nachdem unter B und C Curvenschwerpunkte behandelt worden sind, möge nun für ebene Flächen die Berechnung der Lage des Schwerpunktes folgen und zwar unter der Voraussetzung, dass dieselben homogen seien, was hier und im Folgenden bedeuten soll, dass das Gewicht der quadratischen Einheit einen constanten Werth habe.

Die die Fläche begrenzenden Curven А。 B。 und A1 B1 (Fig. 23)

sollen die Gleichungen

Die

haben, in denen x OP', Yo P' Po, Y1 = P' P1 ist. Y1 Anfangsabscisse OA' möge (wie im Vorhergehenden) mit xo, die Endabscisse B' mit x1 bezeichnet werden; ferner sei S der Inhalt der Fläche Ao A1 B1 B。, deren auf das System XOY bezogene Schwerpunktscoordinaten OU'—§‚ U'U = n man berechnen soll.

=

૬

Lösung. Zerlegung der Fläche in unendlich schmale, der Y-Achse gleichgerichtete, Streifen giebt, bei Anwendung des unter A genannten Satzes (von den statischen Momenten):

Wie diese Gleichungen in jedem besonderen Falle anzuwenden sind, bedarf keiner Erklärung. (Man beachte aber die am Schlusse von F stehende „Anmerkung zu D, E und F“; ferner § 32, A.)

E.

Der durch das Vorausgehende erledigten Herleitung der Schwerpunktscoordinaten homogener ebener Flächen möge jetzt die der Cylinderflächen folgen:

In der X Y-Ebene eines rechtwinkligen Systems (Fig. 24 auf Seite 73) sei ein Grundriss Ao Bo B1 A1 gegeben durch die Gleichungen

1

Yo

der Curven A。 B。 und A1 B1 (wobei OL=x, LM。 LM11); ferner durch die der Y-Achse parallel liegenden, zu

=