vom Centrum C und hat vom Schwerpunkte, dessen Lage leicht aus § 18, B, folgt, die Entfernung

Zur Ergänzung des unter D und E Behandelten möge folgende Aufgabe dienen:

Fig.29.

Aus dem Punkte C (Fig. 29) ist mit dem Halbmesser CO (gleich a) ein Kreisbogen K1 K2 geschlagen, dessen Enden K1 und K2 in den Richtungen CB und C B2 liegen. Die Tangente B1 B2 und der genannte Bogen haben übereinstimmenden Querschnitt (g) und übereinstimmende Dichtigkeit (ε).

B

P

von den bei P und

2

Es soll berechnet werden, welche Beziehung zwischen denjenigen Anziehungen besteht, die einerseits die Gerade B1 B2 und andererseits der Kreisbogen K1 K2 nach dem Newton'schen Gesetze auf das Centrum C ausüben.

Lösung. Durch Verglei

chung der Anziehungen, welche

liegenden, zu dw gehörenden, Linienelementen auf C geäussert werden, gelangt man leicht zu dem Satze : Die von dem Kreisbogen K1 K2 auf das Centrum C ausgeübte Anziehung ist (nach Grösse und Richtung) derjenigen gleich, welche die Gerade (Tangente) B B2 auf C ausübt. *)

* Vergleiche: Schell, Theorie der Bewegung u. s. w., Seite 660 der ersten Auflage, oder Bd. 2, Seite 283 der zweiten.

Der Halbkreis z. B. äussert dieselbe Anziehung, wie die unendlich lange zur Halbirenden seines Centriwinkels gehörende Tangente. (Gleichung 34 und 27.).

Anmerkung. Mit Benutzung der Lösung der unter E vorhergehenden Aufgabe kann man hinzufügen : Die Anziehung, welche die Gerade B1 B2 auf den Punkt C ausübt, ist derjenigen gleich, welche die Masse der Sehne K1 K des Kreisbogens K, OK, auf Cäussern würde, wenn sie im Halbirungspunkte des genannten Bogens vereinigt wäre.

Dies bildet eine Ergänzung zu D.

G.

Nachdem unter BF Anziehungen ermittelt worden sind, welche durch gerade Linien und Kreisbögen erfolgen, soll nun die durch eine allgemeine Curve bewirkte Anziehung untersucht werden, indem folgende Aufgabe Behandelung findet :

Die einfach gekrümmte Linie QoQQ1 hat, bezogen auf das durch Fig. 30 veranschaulichte Coordinatensystem, die Gleichung 37) y = f(x); dabei den constanten Querschnitt q, die constante Dichtigkeit ε, die Anfangsabscisse O Q'oxo, die Endabscisse O Q'1X1.

Es wirkt jene Linie anziehend auf den festen Punkt P und zwar nach dem Newton'schen Gesetze. Der Punkt ist ge

geben durch die Coordinaten OP'a, P'Pb und hat die Masse 1.

Man soll die Anziehung R, welche P durch die Curve QoQ Q1 erleidet, berechnen (analytisch ausdrücken) und zwar sowohl bezüglich der Grösse, als auch bezüglich der Richtung unter den durch die Fig. 30 angedeuteten Voraussetzungen.

Hierauf sollen die Ergebnisse auf denjenigen besonderen Fall angewendet werden, in welchem P mit dem Coordinatenanfange O zusammenfällt und die Curve Qo QQ eine Gerade ist (Fig. 31), die der X-Achse gleichgerichtet, im Abstande Q'o Qoc, derartig liegt, dass die Strecken OQ'o und O Q'1 die Längen b2, bezüglich b1, haben.

Lösung.

leicht Folgendes:

In der unter D angegebenen Weise erhält man

Die Anziehung, welche der Punkt P im Sinne der positiven x erleidet, hat den Werth

wobei k (wie vorher) den Anziehungscoefficienten bezeichnet und y den Differentialquotienten von y in Bezug auf x.

die von der Curve QoQQ1 auf den Punkt P in der Richtung der positiven y ausgeübte Wirkung.

Die Gesammtanziehung R, welche P erfährt, ergiebt sich aus 38 und 39 mittelst der Gleichung

Der von R mit der positiven Seite der Abscissenachse gebildete Winkel, welcher @ heissen möge, ist bestimmt durch:

Fällt der angezogene Punkt mit dem Coordinatenanfange zusammen, so gehen die Gleichungen Nr. 38 und 39 über in die einfacheren :

Wird ferner die Curve QoQQ1 zu der in der Fig. 31 angegebenen geraden Linie, so ergeben sich aus 42 und 43 die

Damit kommt die Sache auf das unter D Behandelte zurück, was man durch Vergleichen von 44 und 45 mit 15 und 14 sofort erkennt.

§ 21. Trägheitsmomente.

A.

Unter dem auf eine Achse UV bezogenen Trägheitsmomente (Drehungs- oder Massenmomente) T eines materiellen Punktes P versteht man bekanntlich dasjenige Produkt, welches aus der Masse m dieses Punktes und dem Quadrate seines Abstandes r von jener Achse gebildet ist.

Liegt ein System von materiellen Punkten vor, so ergiebt sich das Trägheitsmoment desselben durch Sum mirung der einzelnen Momente. Für Körper, wie auch für materielle Flächen und Linien, ist diese Summirung eine Integration.

Im Nachfolgenden (unter B-G) sollen zunächst einige Fälle behandelt werden, in denen die zu addirenden Elemente nur einen unendlich kleinen Faktor enthalten, mithin die Integration eine einfache ist; im § 33 folgt die Berechnung von Trägheitsmomenten unter Benutzung mehrfacher Integrale.

Oft wird im Nachstehenden für die betreffenden Linien, Flächen oder Körper auch der Trägheitshalbmesser (g) verlangt, nämlich diejenige Entfernung (von der Drehachse), in welcher die Masse des Systems vereinigt sein müsste, wenn sie dasjenige Trägheitsmoment haben sollte, welches sie thatsächlich hat.

Ueber die Beziehung der Trägheitsmomente zur Mechanik und Physik sehe man, wenn nöthig, die im „Literaturverzeichniss" genannten Lehrbücher von Duhamel, Schell, Voigt, Weisbach oder Wüllner (Bd. 1, § 19 der 4. Auflage).

B.

Zunächst möge für die homogene ebene Curve Po PP (Fig. 32) das auf die X-Achse des rechtwinkligen Coordinaten

systems bezogene Trägheitsmoment T durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt werden.

Dabei sei