Um analoge Formeln im Raum zu erhalten, muss der unendlich ferne imaginäre Kreis in die Betrachtung eingezogen werden. Man habe den Abstand der Punkte zu untersuchen, deren homogene Coordinaten Wir bilden den Kegel 2ten Grads, der von dem Punkt = des Raums aus den unendlich fernen imaginären Kreis projicirt, und F(X, y) O sei die Gleichung dieses Kegels, worin die X die laufenden Coordinaten sind; es sei ferner T(X) = 0 die Gleichung der Ebene, welche durch denselben unendlich fernen imaginären Kreis geht; der Abstand der beiden Punkte im Raum wird dann durch die Formel ausgedrückt, worin, wie oben, R eine von der Masseinheit abhängige Constante bedeutet, welche sich so, wie früher, bestimmen lässt. Man habe ferner zwei von einem Punkt (y) ausgehende Gerade; auf der einen liege der Punkt (x), auf der anderen der Punkt (x'); man bezeichne mit F die Polare von F mit dem Pol (x) in Bezug auf die Variabeln (x) und mit Þx' (x, y) die Gleichung der durch den Punkt (x) an den Kegel mit der Spitze (y) gelegten Berührungsebene. = 0 Der Winkel der beiden Geraden ist dann durch die Formeln gegeben und zwischen F und besteht die Beziehung: Px' (x, y) = F(x, y) − F(x, y) F(x′y). Der zwischen zwei Ebenen enthaltene Winkel ist das Pro i duct von mit dem Logarithmus des Doppelverhältnisses des 2 Quadrupels, welches aus den beiden gegebenen und den zwei Ebenen besteht, die durch die Schnittlinie der ersteren gehen und den unendlich fernen imaginären Kreis berühren. Betrachtet man den unendlich fernen imaginären Kreis als eine degenerirte Enveloppenfläche 2ten Grads, so sind die drei Hauptaxen einer beliebigen Fläche 2ten Grads drei Kanten des Tetraeders, das in Bezug auf die gegebene Fläche 2ten Grads und die durch den unendlich fernen imaginären Kreis dargestellte degenerirte Fläche 2ten Grads sich selbst conjugirt ist. Vergl. S. 103-124. Confocal (S. 120) sind die Flächen 2ter Ordnung, die in die nämliche abwickelbare und den unendlich fernen imaginären Kreis enthaltende Fläche eingeschrieben sind. § 4. Das absolute Gebilde Cayley's. Die projective Metrik. Projective Interpretation der drei Geometrien. Es soll jetzt die tiefgreifende Idee besprochen werden, die von Cayley in dem 6ten Memoir über die Theorie der algebraischen binären und ternären Formen, Phil. Trans., 1859 angeregt und später von Klein, Math. Ann., 4, 6 auf elegante Art zur projectiven Interpretation der nicht-Euclidischen Geometrie nutzbar gemacht wurde. Gebilde 1ter Stufe. Wir beginnen mit den Gebilden 1ter Stufe, d. h. von nur einer Dimension. Wir denken uns auf der Geraden ein Paar von Punkten festgesetzt, welches wir das absolute Gebilde der Geraden nennen wollen. Wenn X1, X2 die laufenden homogenen Coordinaten eines Punkts der Geraden sind, so wird das Paar Punkte durch eine in x1, x2 quadratische binäre Form xx dargestellt, deren linke Seite wir mit Z bezeichnen; auf dieses absolute Gebilde beziehen wir die metrischen Verhältnisse zwischen den Punkten der Geraden. Sind zwei Punkte x, x' gegeben und werden die Punkte des absoluten Gebildes §, §' genannt, so bilden wir das Doppelverhältniss und nennen Abstand der beiden Punkte x, x' den Ausdruck r = R log D, worin R eine beliebige Constante bedeutet. Der Abstand r genügt der Fundamentalrelation (der thatsächlich die Abstände auf einer Geraden in dem gewöhnlichen Sinn des Worts genügen): 1223 +31 = 0, wenn mit rij der Abstand zwischen den Punkten i und j bezeich net wird. Es lassen sich nun die drei Fälle unterscheiden: I. Die beiden Punkte, des absoluten Gebildes, das der Massbestimmung zu Grund liegt, sind verschieden (d. h. die Discriminante von verschwindet nicht) und conjugirt imaginär. In diesem Fall ergibt sich die elliptische Geometrie auf der Geraden. II. Die beiden Punkte §, ' fallen zusammen. Man erhält die parabolische Geometrie. III. Die beiden Punkte §, §' sind reell. Es folgt die hyperbolische Geometrie. In der hyperbolischen Geometrie haben die beiden Punkte ,' unendlich grossen Abstand von jedem beliebigen anderen Punkt und die Gerade hat zwei Punkte im Unendlichen. Die Definition des Abstands r ergibt im Fall der parabolischen Geometrie für r immer Null, wenn R von Unendlich verschieden ist, und wird unbestimmt, wenn man R gegen Unendlich convergiren lässt. R ε Man setzt in dem letzten Fall §1 = §1 +ε $1, §2′ = §2 + & S2 und an Stelle von R und definirt den Abstand als Grenze, nämlich ε In der parabolischen Geometrie ist nur der Punkt § unendlich ferner Punkt, d. h. er hat unendlich grossen Abstand von jedem beliebigen anderen Punkt; der Abstand r zweier Punkte wird als die Differenz zweier Doppelverhältnisse ausgedrückt, worin O den Anfangspunkt auf der Geraden und E den Einheitspunkt bezeichnet. In der elliptischen Geometrie ist die Länge der Geraden endlich und gleich 2 Rл. = Gebilde 2ter Stufe. Wir denken uns in der Ebene einen Kegelschnitt, dessen Gleichung Ex O laute, und nennen ihn das absolute Gebilde der Ebene. Seine Gleichung in Liniencoordinaten sei Suu = 0. Jede Gerade der Ebene schneidet den Kegelschnitt in zwei Punkten, die entweder reell oder conjugirt imaginär sind oder zusammenfallen; diese Punkte sind die Fundamentalpunkte für die Geometrie auf dieser Geraden der Ebene. Von jedem Punkt der Ebene aus kann man zwei Tangenten an den absoluten Kegelschnitt ziehen; diese beiden Geraden sind die Fundamentalgeraden für die Geometrie des von diesem Punkt ausgehenden Strahlenbüschels. Als Abstand zweier Punkte (x), (x') definiren wir den und als den Winkel zweier Geraden (u), (u') den Ausdruck Der absolute Kegelschnitt ist der Ort der Punkte der Ebene, die unendlich grossen Abstand von einem gegebenen Punkt haben. Der Ort der Punkte der Ebene, die constanten Abstand von einem festen Punkt (x) haben, ist ein Kegelschnitt, welcher den absoluten Kegelschnitt in den beiden Punkten berührt, in welchen dieser von der Polaren von (x) geschnitten wird. Und correlativ: Die Geraden, welche mit einer gegebenen Geraden (u) denselben Winkel bilden, hüllen einen Kegelschnitt ein, der den absoluten Kegelschnitt in den beiden Schnittpunkten des letzteren mit (u) berührt. Die Geraden, die sich auf dem absoluten Kegelschnitt schneiden, bilden den Winkel Null miteinander und sind daher als parallel anzusehen. Mithin: Im Allgemeinen lassen sich von jedem Punkt zwei (reelle, imaginäre, zusammenfallende) Parallelen zu einer gegebenen Geraden ziehen. R = = Nimmt man an, der Kegelschnitt sei imaginär und setzt iR1 und R': iR, so ist die Länge jeder reellen Geraden der Ebene endlich und gleich 2 R1 und die Summe der Winkel in einem Strahlenbüschel 2 Rπ. Setzt man dann noch R1 = 1, erhält man die Riemann'sche oder elliptische Geometrie. SO Vergl. § 2. Nimmt man dagegen an, der Kegelschnitt sei reell und setzt wieder RiR1, R' = ¿R1' und R, so ergiebt sich die Lobatschefskij'sche oder hyperbolische Geometrie. Wird schliesslich vorausgesetzt, der Kegelschnitt sei degenerirt und reducire sich als Enveloppe auf ein Punktepaar, so kommt man zu der parabolischen Geometrie im weiteren Sinn, welche sich auf die Euclidische Geometrie reducirt, wenn diese Punkte die (conjugirt imaginären) Kreispunkte sind. Hat man diese Principien für die Gebilde 2ter Stufe aufgestellt, so bietet ihre Erweiterung auf die Gebilde 3ter Stufe, speciell auf den gewöhnlichen Raum keine weitere Schwierigkeit dar. In dem letzteren ist das absolute Gebilde eine Fläche 2ter Ordnung. Je nachdem diese Fläche 2ter Ordnung imaginär oder reell aber mit nicht reellen Erzeugenden oder (als Enveloppe) in einen ebenen Kegelschnitt und speciell den imaginären Kugelkreis degenerirt ist, erhält man die drei Geometrien, die elliptische, hyperbolische und parabolische des § 2. § 5. Beltrami's Darstellung der nicht-Euclidischen Geometrie auf Mannigfaltigkeiten der Euclidischen Räume. Die Lobatschefskij'sche Geometrie fällt mit der Geometrie in einem Raum constanter Riemann'scher negativer Krümmung zusammen, vergl. Kap. 20; es genügt, an die Stelle der Geraden die geodätischen Linien zu substituiren. Daher deckt sich ins Besondere die ebene Lobatschefskij'sche oder hyperbolische Geometrie mit der Geometrie auf einer Fläche von constanter negativer Krümmung in unserem gewöhnlichen Raum, vergl. Kap. 16, § 11, S. 496; aus diesem Grund wird die ebene Lobatschefskij'sche auch pseudosphärische Geometrie genannt. Wie schon in § 2 gesagt wurde, hatte Lambert bereits im Jahr 1766 bemerkt, dass die aus der sogenannten Hypo |