die unvergleichlichen Arbeiten von Gauss einen andern Charakter angenommen, seitdem man in Praxi grössere Magnetstäbe anwendet und deren Dimensionen theoretisch nicht vernachlässigt, ist dies jedoch anders, und es wird nöthig, die Summe der magnetischen Momente mit Bezug auf andere Axen kennen zu lernen, namentlich mit Bezug auf solche, welche senkrecht auf den magnetischen stehen. Wir entlehnen hierüber das Folgende aus der Abhandlung von Gauss1). Das Moment einer Kraft mit Bezug auf eine Axe heisst bekanntlich das Product aus der Kraft in die Entfernung, welche auf dieser Axe von einem bestimmten Anfangspunkte aus gemessen wird. Da nun in einem Magnetstabe beide Arten von Magnetismus, der nördliche wie der südliche, in gleicher Menge vorhanden sind, ein Satz, der zufolge unserer jetzigen Ansichten über das Magnetisiren auch für jedes körperliche Atom eines Magneten gilt, und einestheils dadurch erläutert wird, dass keine Mittheilung von magnetischer Kraft, vielmehr nur eine Vertheilung möglich, anderntheils dadurch bewiesen wird, dass der Magnetismus der Erde einem Magneten nur eine Bewegung im Sinne der Rotation, aber nicht im Sinne der Translation zu ertheilen vermag so folgt aus dieser Gleichheit, dass in jedem magnetischen Körper die Summe der Momente mit Bezug auf irgend welche Axe, unabhängig sei von dem Anfangspunkt, von welchem aus die Entfernungen gemessen werden, Denn bezeichnet dm das Element des freien Magnetismus irgend eines Punktes, so ist die Summe der Momente xdm, wo x die Entfernung des Punktes vom Anfangspunkte. Verschiebt man letzteren auf der Richtung der Axe um c, so wird die Entfernung nunmehr x±c, die Summe der Momente mit Bezug auf den einen Anfangspunkt wird (x+c)dm, welche wiederum fxdm gleich ist, weil Sdm dem Gesagten zufolge stets o ist. Unter den unendlich vielen Axen, für welche die Momente genommen werden können, giebt es eine, in Bezug auf welche die Summe der magnetischen Momente ein Maximum wird, und diese nennt man die magnetische Axe. Wird die Nadel oder der Stab horizontal beweglich aufgehängt, so werden sie nach den Lehren der Mechanik in einer solchen Lage zur Ruhe kommen, in welcher die magnetische Axe parallel ist dem Durchschnitt der horizontalen Ebene 1) Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata. Götting. 1833. mit der Ebene des magnetischen Meridians. Uebrigens ist die magnetische Axe keine einzige, bestimmte Linie, vielmehr nur eine Richtung, und es giebt daher in einem magnetischen Körper deren unzählig viele, die jedoch alle unter sich parallel sind. Wir wollen nunmehr die Summe der magnetischen Momente mit Bezug auf irgend eine Axe auf diejenige nach der magnetischen zurückführen. Seien x, y, z die rechtwinklichten Coordinaten eines Punktes im Magnetstabe, dm der freie Magnetismus daselbst. Man ziehe eine beliebige Linie, die mit den Coordinatenaxen die Winkel a, ß, y bilde, so ist die Entfernung des Punktes xyz von dem Anfangspunkt der Coordinaten nach dem elementaren Satze der Geometrie, x cos. a+ y cos. ß +z cos. ?, und daher die Summe der magnetischen Momente für diese Linie X cos. a+ Y cos. ß + Z cos. y. (1) wenn die Summe xdm mit X Sydm mit Y fzdm mit Z bezeichnet wird. Der Werth (1) giebt somit die Summe der Momente für jede beliebige Axe, wenn man α, ß, entsprechend wählt. Man kann diesem Werthe eine noch zweckmässigere Form geben, indem man setzt: X=M cos a Y=M cos ẞ, Z= M cos y1 und da man hier drei Gleichungen und vier Unbekannte hat, noch die Bedingung hinzufügt, dass cos 2 a, + cos 2 ẞ, +cos 2 " = 1 sei. Damit findet sich dann MVX2+Y2+Z2 und der Werth (1) geht über in M (cos a cos α, + cos ẞ cos ß, + cos y cosy,)... (2) Da nun cos 2 2 COS a+ cos dass der Factor von M 2 =cos w; daher wird (2) Dieser Werth wird ein 2 == B1 + cos y1 = 1, so lehrt die Geometrie, einem Cosinus gleichgesetzt werden kann, =M cos w. Maximum für w= 0, und somit ergiebt sich die Summe der Momente für die magnetische Axe M. Es ergiebt sich demnach 1) wenn man drei rechtwinklichte Coordinaten annimmt, die Summe das Momente nach diesen Axen mit X, Y, Z bezeichnet, dass das Moment für die magnetische Axe gleich sei VX2+Y2+Z2 aus diesem Moment für die magnetische Axe erhält man das für jede andere, wenn man es mit cos w multiplizirt, wo w der Winkel ist, den beide Axen mit einander bilden. 3) Die Summe der Momente mit Bezug auf alle Axen, welche senkrecht auf der magnetischen stehen, ist = 0. Fällt also die eine der rechtwinklichten Coordinatenaxen, z. B. die der x mit der magnetischen zusammen, so ist fydm und fzdm = 0. Wir wollen bei dieser Gelegenheit noch über einen Aufsatz von Vorselman de Heer 1) zu Deventer berichten, welcher von der Bestimmung der Inclination handelt. Der Verfasser sucht darin nachzuweisen, dass die Mayer'sche Methode, die Inclination aus vier beobachteten Werthen derselben zu berechnen, nicht ausreiche, da nicht vier, sondern sechs unbekannte Grössen zu eliminiren seien. Die bisherigen vier sind bekanntlich: die wahre Neigung, die Lage des Schwerpunkts der Nadel, und das Verhältniss des Drehungmoments der Schwere zu dem magnetischen, welches letztere sich mit dem Umstreichen der Nadel ändert, und also zwei Unbekannte liefert. Nach dem Verfasser aber hätte man sechs Unbekannte, weil er die magnetische Axe keine einfache Linie sein lässt, sondern sie aus zweien Graden bestehend annimmt, die sich in der Drehaxe der Nadel schneiden; jede Hälfte der Nadel erhält dadurch eine verschiedentlich gerichtete magnetische Axe, und man bekömmt sechs Unbekannte und nur vier Gleichungen zur Elimination derselben. Wie man sieht, ist jedoch diese Annahme unrichtig, und der Einwand des Verfassers gegen die bisherige Art, die Inclination zu berechnen, unhaltbar. V. Bestimmung des Trägheitsmoments eines schwingenden Magnetstabes. Zu den schönsten Resultaten, welche wir den Arbeiten von Gauss im Gebiete des Magnetismus verdanken, gehört die scharfe Bestimmung des Moments der Trägheit. Man versteht darunter bekanntlich die Summe der Producte aus den Massentheilchen eines schwingenden Körpers, in das Quadrat ihrer Entfernung von der Schwingungsaxe, wobei diese Entfernung in der Ebene der Schwingungen gemessen wird. Die Mechanik lehrt dieses Moment für gewisse, einfach gestaltete und homogene Körper finden, und dergleichen hat man denn bis jetzt auch angewandt. Allein bei der jetzigen Art, die magnetischen Beobachtungen anzustellen, wo ausser den grösseren Ma ') bibl. univ. Nov. 1835. gnetstäben, bei denen es misslich wäre, eine genau gearbeitete Form und eine homogene Masse anzunehmen, noch andere Theile dazutreten, z. B. der Spiegel, deren Moment der Trägheit nicht zu berechnen ist, finden diese Lehren der Mechanik keine Anwendung. Diese Schwierigkeit hat Gauss durch ein scharfsinniges Verfahren überwunden. Wir wollen zuvörderst bemerken, dass, was die Art betrifft, wie man jetzt die Magnetnadeln beobachtet, sie so häufig beschrieben worden, und auch schon so vielfältig angewandt wird, um eine Erläuterung derselben hier überflüssig zu machen 1). Schwingt eine horizontale Nadel, so ist bekanntlich für eine x2 M Schwingung, die von der Amplitude unabhängig ist, t2= gh Wo t die Zeit, die Intensität der Erdkraft nach dem Horizont zerlegt, h die Summe der magnetischen Momente mit Bezug auf die magnetische Axe, (siehe vorigen Abschnitt), und M das Moment der Trägheit ist. Im Folgenden wird es sehr nöthig sein, an die Zeit t alle Correctionen anzubringen; was jedoch diejenige für die Amplitude betrifft, so übergehen wir sie hier, weil sie hinlänglich bekannt, und jetzt sogar bei den kleinen Amplituden, in welchen die schweren Magnetstäbe schwingen, sehr viel unbedeutender ist, als früher, wo man wegen der Kleinheit der Nadeln genöthigt war, sie in grossen Bogen schwingen zn lassen. Dagegen wird nunmehr bei den bedeutenden magnetischen Massen, die Torsionskraft beträchtlicher, und ist genau in Rechnung zu ziehen, da sie die Dauer einer Schwingung verkürzt. Es sei die Magnetnadel so aufgehängt, dass durch ihre Richtung der Faden, an welchem sie befestigt, nicht aus seiner Ruhelinie 1 kommt. Dreht man hierauf den Faden v Grade um sich, und bildet die Nadel mit dem Meridian den Winkel u, so ist nach wohlbekannten Sätzen gh sin u (v−u) 4 diese Grösse mit n bezeichnet. Braucht nun der Magnetstab zu einer Schwingung, nach angebrachter Correction wegen der Amplitude, die *) Ausserdem findet man das Nöthige in dem Werke von Gauss und Weber: Resultate der Beobachtungen des magnetischen Vereins. Göttingen 1837. Ohne hinzutretende Torsion, würde diese Zeit t、 sein, und man würde n +1 1 Den Werth von t1 2 um den es sich handelt, erhält man daher aus dem beobachteten, wenn man t2 mit Einfluss der Torsion herausgeschafft ist. n multiplicirt, wodurch der Die Grösse hängt, wie man weiss, von den Dimensionen und der Substanz der Fäden oder Dräthe ab. In der Regel wendet man ungedrehte Seidenfäden an, wie sie im Handel vorkommen, und von denen jeder gewöhnlich aus 4 einfachen Coconfäden besteht. Gauss giebt an, dass ein solcher beinahe 30 Grammen zu tragen vermag, wonach also die Zahl der Fäden ungefähr berechnet werden kann, die im Stande sind, einen Magnetstab von einem gegebenen Gewicht zu tragen. Dié Torsion fällt bei Anwendung von Seidenfäden viel geringer aus, als wenn man einen gleich langen Metallfaden nehmen würde, der dasselbe Gewicht zu tragen vermag. Inzwischen bieten die Seidenfäden mehrere Unbequemlichkeiten dar; sie dehnen sich anfangs, wenn sie zu tragen bekommen, sehr aus, verändern ferner ihre Länge, je nach dem Zustand der Feuchtigkeit der Luft, und endlich ist ihre Torsionskraft, wie Gauss durch Versuche ermittelt, verschieden, je nach dem Gewichte, das sie spannt, und zwar ist sie grösser, wenn das Gewicht vermehrt wird. So wurde =0,00167.9h gefunden, als die Seidenfäden nur die Nadel, d. h. ein Gewicht von 496,2 Grammen trugen, hingegen war 0,0023542.gh, als das Gewicht bis auf 710,8 Gr. vermehrt wurde. Bei Metallfäden aber lehren die Versuche Coulomb's, dass ihre Torsionskraft von dem Gewichte, das sie tragen, unabhängig ist. Es dürfte daher am zweckmässigsten sein, die Dimensionen der Magnetstäbe zu vergrössern und Metallfäden anzuwenden, wie dies auch bereits geschieht, da man Stäbe von 25 Pf. Gewicht gebraucht. = - Folgendes Beispiel von Gauss wird der Methode, den Werth von n zu bestimmen, zur Erläuterung dienen. |