Während dieser Versuche wurde zugleich eine andere Nadel beobachtet, um die stattfindenden Variationen der Abweichung in Rechnung ziehen zu können. Diese letztere bewegte sich während dess nach der entgegengesetzten Seite und zwar um 34,4" bei der Beobachtung II, und um 53,3" bei der Beobachtung III. Diese Veränderungen sind also zu addiren, und es ergiebt sich. Und dieser grosse Werth von n zeigt, dass in der That die angewandten Seidenfäden eine sehr geringe Torsionskraft besassen. Um nun das Moment der Trägheit eines Stabes zu bestimmen, befestigt Gauss auf demselben eine schmale Leiste, und lässt von derselben zwei Gewichte (p), in der Entfernung (r1) von der Aufhängeaxe, und in einer und derselben verticalen Ebene mit ihr, herabhängen, welche Gewichte mittelst feiner Spitze auf dem Holze stehen. Das Moment der Trägheit wird nunmehr M+C+2pr,2, wo die Grösse C, welehe mit Bezug auf r, eine Constante ist, einmal das Trägheitsmoment der hölzernen Leiste enthält, welches unveränderlich ist, und dann einen Theil des Trägheitsmoments derjenigen Theile des Gewichts, welche sich in einer verticalen Ebene befinden, die durch den Schwerpunkt der Gewichte und senkrecht auf der magnetischen Axe stehend, gelegt worden. Befindet das Gewicht sich unterhalb des Magnetstabes, und ist die Spitze, durch welche es auf derselben steht, mittelst eines unbiegsamen Drahtes mit dem Gewicht verbunden, so sind z. B. die Theilchen dieses Drahtes nicht in der Entfernung r, von der Schwingungsaxe; inzwischen kann das Quadrat ihrer eigentlichen Entfernung gleichgesetzt werden r,2+a12, wo a die Entfernung der Theilchen von der verticalen Linie bezeichnet, welche durch die Spitze und den Schwerpunkt des Gewichts geht, und sich mit r, nicht ändert. Für dergleichen Massentheile setzt sich das Trägheitsmoment demnach aus einem constanten und einem von r1 abhängenden Gliede zusammen. Schwingt demnach eine so beschwerte Nadel, so hat man wo y und x, falls man mehrere Beobachtungen anstellt, nach der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen sind. Mittelst des Werthes von x erhält man unmittelbar gh=2px2x. und ist ph bekannt, dann ist es auch M. Man braucht zu dem Ende nur den Stab unbeschwert schwingen lassen. Ist endlich M bekannt, so erhält man C aus dem Werthe für y. Soll man die Methode der kleinsten Quadrate zur Bestimmung von x und y anwenden, so muss man für die letztern angenäherte Werthe annehmen, und ihre Correctionen Axund Ay berechnen. Bezeich nen x und y diese Annäherung, setzt man erhält man nach dem Taylor'schen Satze X A1, so Gleichungen in Bezug auf ▲y und Ax nach der Methode der klein sten Quadrate zu behandeln sind. Gauss führt am angeführten Orte folgendes Beispiel an. Ein Magnetstab brauchte zu einer Schwingung 30 15,82958 =t 4 Jedes der beiden, genau gleich schwer zu wählenden Gewichte betrug 103257,2 Milligrammen (der unbeschwerte Magnetstab wog 96,2 Grammen). Die angegebenen Zeiten sind bereits corrigirt 1) wegen der Veränderung der Intensität des Erdmagnetismus im Laufe des Versuchs, welche Veränderung durch die Schwingungsdauer einer andern Nadel ermittelt wurde, 2) wegen der Torsion, und zwar fand sich der Werth von n, wie bereits angegeben, für den beschwerten und unbeschwerten Stab verschieden, 3) wegen der Amplitude und 4) wegen der Retardation der Uhr gegen mittlere Zeit. Aus den Beobachtungen II und IV ergiebt sich x= aus der Beobachtung I 88,13646 y= 21184,85 gh=179641070 M 4230282000. Mit diesen angenäherten Werthen ergiebt die Methode der kleinsten Quadrate X = y = gh = M 88,10416 179575250 4228732400, C143686600. Wie genau sich diese Werthe den Beobachtungen anschliessen, ersieht man, wenn man mittelst derselben die Werthe t1, t2 u.s.w. berech net. Es finden dann folgende Differenzen statt, II+0,00167" 0,00454 III IV 0,00436 V 0,00153. Ich hatte diese Bestimmung des Trägheitsmoments wiederholt, um hier über das practische Detail, welches in der ersten Abhandlung von Gauss nicht mitgetheilt worden, das Nöthige angeben zu können. Seit der Zeit jedoch, wo das angeführte Werk von Gauss und Weber erschienen, welches diesem Mangel abhilft, hat dies weiter kein Interesse, und ich begnüge mich hier auf jenes Werk zu verweisen. 1 Wir wollen noch darauf aufmerksam machen, dass sich das Trägheitsmoment eines Stabes auch bestimmen lassen wird, ohne dass derselbe zu schwingen braucht. Denn umgiebt man denselben mit Kupferdraht nach Art eines Galvanometers, und erregt in diesem einen magneto-elektrischen Strom, so wird, nach den bisherigen Versuchen, eine sehr constante Ablenkung erhalten. Die Kraft des Stromes ist dann proportional dem Sinus des halben Ablenkungswinkels (a) und der Quadratwurzel aus dem Moment der Trägheit des Stabes. Beschwert man den letzteren also mit Gewichten, so wird die Ablenkung durch denselben Strom verringert, und man erhält für sin. a ähnliche Bedingungsgleichungen, wie die obigen für t sind. VI. Ueber die Ablenkung einer horizontal beweglichen Nadel durch einen Magneten. Dies Problem ist ein sehr altes, und von dessen Lösung hängen einige der wichtigsten Aufgaben im Gebiete des Magnetismus, die Abnahme der magnetischen Wirkung mit der Entfernung, und die Bestimmung der absoluten magnetischen Erdkraft ab. Vielfältige Versuche sind von jeher gemacht worden, dasselbe zu lösen, die aber jetzt wenig Interesse darbieten, seitdem Gauss das Problem in seiner Allgemeinheit aufgestellt und so gelöset hat, dass nichts zu wünschen übrig bleibt. Wir theilen im Folgenden diese schöne Untersuchung mit, indem wir noch einmal bemerken, dass wir von einer Magnetna del nur der leichtern Verständigung wegen, und um den beweglichen Magneten vom ruhenden zu unterscheiden, reden. Wenn ein Stab eine horizontal bewegliche Nadel ablenkt, SO kommen drei Kräfte in Betracht, die sich das Gleichgewicht halten: die Richtkraft der Nadel, die Torsion ihres Fadens, und endlich die Anziehung und Abstossung des Magneten. Gauss bildet die Bedingungsgleichung des Gleichgewichts mittelst des Prinzips der virtuellen Geschwindigkeiten. Es bezeichne W die Summe der Producte aus den Kräften in die unendlich kleinen Bewegungen der Punkte, auf welche sie wirken, und zwar in der Richtung der Kräfte genommen: so ist die Bedingung des Gleichgewichts, wie sie jetzt ausgesprochen wird, diese: dass W für keine, mit den sonstigen Bedingungen des Systems verträgliche Bewegung einen positiven Werth annehmen dürfe. Da nun in dem Falle, der uns beschäftigt, die Bewegung einer am Faden aufgehängten Nadel betrachtet wird; da dieser Faden keine andere Bewegung verhindert, als diejenige, welche ihn zu verlängern strebt; da also die Bewegung der Nadel in der horizontalen Ebene, welche in einer Veränderung der Ablenkung oder des Azimuth u besteht, völlig frei ist, und daher sowohl nach der einen als nach der entgegengesetzten Seite hin gerichtet sein kann: so muss für diesen Fall Wo sein. Es seien x, y, z die rechtwinklichten Coordinaten eines Punktes der Nadel, gezählt von einem Punkte h in der Drehungsaxe; es bezeichne e den freien Magnetismus des Punktes. Liegen x und y horizontal, und x in der Richtung des magnetischen Meridians, so ist derjenige Theil von W, der durch die Richtkraft der Nadel entsteht pedx, mit die horizontale Intensität der Erdkraft bezeichnet. Es seien ferner X, Y, Z die Coordinaten eines Punktes im Stabe, E sei freier Magnetismus; die Entfernung desselben von dem in der Nadel betrachteten Punkte wird sein r = √(X-x)2+(Y-y)2+(Z-z)2 Nimmt man an, die magnetische Kraft wirke umgekehrt wie die nte Potenz der Entfernung, so tritt zu W, wegen der Entfernung des Eedr Magneten, das Glied r Endlich ist noch die Torsion zu betrachten. Wenn die Nadel im Zustand des Gleichgewichts um den Winkel u aus dem Meridian gelenkt ist, so wird der Faden im Allgemeinen bei einem Winkel N ohne Torsion sein. Die Drehungskraft, welche durch die Torsion bewirkt wird, ist also (N-u), und in die unendliche kleine Bewegung nach der Richtung der wirkenden Kraft multiplizirt >(N-u)du. Eedr r" Somnit ist W = 9 Σedx+Σ +(N− a) du, wo das Summationszeichen des ersten Gliedes alle möglichen Punkte der Nadel, und das im zweiten Gliede die sämmtlichen Combinationen aller Punkt im Stabe und in der Nadel bezeichnet. Dieser Ausdruck musso sein, oder wenn man ihn integrirt, so lässt sich die Bedingung des stabilen Gleichgewichts dahin angeben, dass ex Ee Σ Bezug auf u; würde es ein Minimum, so wäre das Gleichgewicht von der Art, wie man es instantan nennt. Es macht jedoch keine Schwierigkeit, beide Fälle von einander zu unterscheiden. Σ (n−1)r(n−1) — ÷ ~ (N−u)2 ein Maximum werde mit Um den letzten Ausdruck nach u zu differentiren, und das Differentiale o setzen zu können, müssen die Grössen x und r der ersten beiden Glieder in u ausgedrückt werden; das letzte enthält diesen Werth bereits. Statt des Coordinatensystems sollen deren zwei angenommen werden, das eine in der Nadel von einem Punkte k ausgehend, und so gelegt, dass die horizontale Axe der a mit der magnetischen Axe zusammenfalle; die Axe der b steht darauf senkrecht und ist ebenfalls horizontal gerichtet; die Axe der c steht vertical. Das andere Coordinatensystem liegt in dem Stabe, der, wie vorausgesetzt wird, sich mit der Nadel in ungefähr derselben Höhe befindet. Der Anfangspunkt dieser Coordinaten ist der Punkt K, der mit dem entsprechen |