mêmes portions égales, ou au moins si l'on ne veut pas admettre une quatrième dimension qu'on prenne autant de lignes droites qui soient entre elles, en même raison que ces solides, lesquelles étant multipliées chacune par chacune de ces parties égales, ...elles forment un plan, qui servira de même à trouver la raison cherchée. Ce qu'il ne sera plus nécessaire de redire. »

Quel est le mathématicien, si pointilleux soit-il au point de vue de la rigueur, qui refuserait de signer de parailles pages? et que nous sommes loin du traité de la Sommation des puissances semblables! Car, désormais, dans ses travaux sur la cycloïde, il sera impossible de trouver PASCAL en défaut.

J'ai exposé au lòng, dans un mémoire spécial, par quels moyens ingénieux, mais détournés, compliqués et souvent peu rigoureux, CAVALIERI avait établi la formule "

21

n

On souhaiterait connaître comment PASCAL l'eût fait, en 1654. Sans nul doute, il eût continué à partir de la formule I), p. 373. Puis, en longues phrases, car il n'eût pas fait d'algèbre, il nous eût expliqué qu'elle pouvait se mettre sous une forme équivalente à celle que nous obtenons après la division des deux membres par n

Mais, comment eût-il rigoureusement démontré, que quand n augmente indéfiniment, on obtient, dans l'intervalle (o, a) la formule II) pour une valeur entière et positive quelconque de l'exposant m?

Voilà le mystère ! PASCAL était évidemment de taille à le résoudre; mais, s'il l'a fait, il ne nous a pas livré son secret. Au surplus, il n'eût eu aucune peine pour démontrer après cela, que tous les termes du second membre, à l'exception du deuxième étaient des indivisibles et que le premier membre finissait par différer de l'unité, de moins que toute donnée.

Bruxelles, Collège Saint-Michel, novembre 1923.

H. BOSMANS, S. J.

21 Un chapitre de l'Oeuvre de Cavalieri (Les Propositions XVI-XXVII de P" Exercitatio Quarta,,) publié dans Mathesis, t. XXXVI, Bruxelles, Stevens, 1922, pp. 365-373 et 446-456.

(Extrait de la Revue des Questions scientifiques, janvier 1923).

HISTOIRE DES MATHÉMATIQUES.

Les sciences grecques et leur transmission, par HEIBERG (1). Le beau travail de M. Heiberg est écrit d'un style si serré qu'il est impossible de le résumer. Le professeur de Copenhague nous a habitués à cette concision dans les articles de SCIENTIA, où il nous donne des aperçus généraux sur la Science grecque. Il faut se contenter de les signaler au lecteur.

La nouvelle étude de M. Heiberg s'étend à toutes les sciences naturelles grecques, y compris la médecine qui y tient une grande place, et sans en exclure l'astronomie, ni les mathématiques; c'est ce qui me donne l'occasion d'en. parler ici. Personne n'a plus de compétence que l'auteur pour traiter pareil sujet. Son travail est divisé en deux parties, provenant, en fait, de la réunion de deux articles. Le premier a pour objet La splendeur et la décadence de la Science grecque; le second nous retrace L'Euvre de conservation et de transmission des Byzantins et des Arabes. C'est ce dernier qui nous semble le plus neuf et aussi le plus intéressant.

Je ne puis m'empêcher d'y relever un trait, qui sera pour bien des lecteurs assez inattendu; car, s'il est exact, il est en tous cas peu connu et ne fait guère honneur à l'Occident latin. Il mériterait une étude approfondie. M. Heiberg juge,

(1) Les Sciences grecques et leur Transmission. « SCIENTIA ». REVUE INTERNATIONALE DE SYNTHÈSE SCIENTIFIQUE, Milan. Bureaux de la Revue, janvier-février 1922; pp. 1-10 et 97-104.

en effet, avec la dernière sévérité, les excès commis par les croisés, lors de la prise de Constantinople, en 1204. Les vainqueurs, dit-il, se conduisirent en barbares, détruisant les manuscrits les plus rares et les plus précieux pour le plaisir de les détruire. Ils causèrent ainsi des pertes irréparables.

Il n'est pas inutile de dire, pour terminer, que l'article du professeur de Copenhague est écrit en français.

A propos du douzième centenaire du plus ancien traité d'Algorisme, par KARPINSKI (I). Court, mais bon travail sur le calcul numérique des nombres entiers au Moyen Age, auquel la récente publication du Catalogue des Manuscrits mathématiques et astronomiques de la Bibliothèque de Bruges, par MM. De Poorter et Alliaume (2), donne un intérêt particulier. A l'exception de deux, tous les manuscrits décrits dans ce Catalogue proviennent, on le sait, des célèbres abbayes de Ter Doest et des Dunes. Or, quand on parcourt le Catalogue de Bruges, dès le premier coup d'œil, un fait appelle l'attention; je veux dire le nombre relativement considérable de traités d'algorisme, qu'en plein Moyen Age ces deux abbayes possédaient dans leurs bibliothèques. Sacro Bosco, Jordan de Nemore, Jean de Lignières, Nicole Oresme, Alexandre de Villedieu y étaient représentés. Les manuscrits de Ter Doest et des Dunes sont de nature à jeter du jour sur la question si obscure de l'état des connaissances scientifiques proprement dites, et notamment de l'arithmétique, chez les Belges, au XIIe et au XIVe siècle. Peut-être ont-ils même une portée plus grande, et nous apportent-ils des documents nouveaux sur l'algorisme au Moyen Age. Mais, une étude préliminaire serait nécessaire pour nous fixer sur ce sujet. Quels sont les traités encore inédits contenus dans les manuscrits de Bruges ? Malgré les nombreux renseignements qu'il nous donne, le Catalogue présente encore des lacunes. C'est ainsi, par exemple, qu'il

(1) L. C. Karpinski, Prof. in the University of Michigan, Two Twelf Century Algorisms, Isis, t. III, Bruxelles, Weissenbruch, 1921; PP. 396-413.

(2) Extrait des ANNALES DE LA SOCIÉTÉ D'ÉMULATION DE BRUGES, t. I.XV. Bruges, De Plancke, 1922; pp. 15-50.

oublie de dire que le Carmen de Algorismo d'Alexandre de Villedieu a été jadis publié par Halliwell, dans ses Rara Mathematica (1).

J'en reviens au douzième centenaire du plus ancien traité d'Algorisme, par M. Karpinski, dont ma digression sur le Catalogue de Bruges m'a, au surplus, beaucoup moins éloigné qu'on pourrait le croire. C'est qu'il est difficile aujourd'hui de parler de l'algorisme au Moyen Age, sans tenir compte des écrits que le professeur de l'Université de Michigan a consacrés à ce sujet. Dans le présent article, il commence par rappeler sommairement quels sont les principaux traités d'algorisme jusqu'ici connus. Puis il nous dit, en un mot, que le plus ancien d'entre eux remonte à douze siècles, et qu'il est de la plume de Mohammed-Al-Chowarizmi. Les lecteurs de la REVUE n'ont pas oublié que l'excellente édition de la version latine de l'Algèbre d'Al Chowarizmi, par Robert de Chester ou de Rhétines, est due aux soins de M. Karpinski (2). L'éditeur a cru que, pour fêter le centenaire de son héros, rien n'était plus indiqué que de publier quelques pièces nouvelles relatives à l'algorisme. Il nous donne donc deux versions latines d'un ancien manuel de calcul des nombres entiers, datant l'une et l'autre de la fin du xire, ou du commencement du XIIIe siècle. Malgré la divergence des textes, ces versions proviennent d'une même source, ce que M. Karpinski met bien en évidence en publiant ces textes dans deux colonnes en regard. La première de ces versions est empruntée au Royal Ms. 15, V. IX du British Museum (fo 77 vo); la seconde est reproduite d'après deux manuscrits, l'un du British Museum (Eggerton, Ms. 2261, fo 225 vo-227 vo); l'autre de la Bibliothèque Nationale de Paris (Ms. latin 10252, fo 66 ro-70 vo).

(1) Rara Mathematica are a Collection a treatise on the mathematics and subjects connected with them... Edited by James Orchard Halliwell. Londres, Samuel Maynard, 1841; pp. 73-83.

(2) Robert of Chester's Latin Translation of the Algebra of Al Chowarizmi with an Introduction, Critical Notes and an English Version, by Louis Charles Karpinski. University of Michigan. New-York et Londres, Macmillan; 1915.

J'ai rendu compte de cet ouvrage dans la REVUE, t. LXXVII, avril 1920, pp. 469-471.