seignements nécessairement sommaires trouvés dans le texte courant.

Voici deux observations capables, je crois, d'intéresser le lecteur belge. J'eusse, d'ailleurs, déjà pu les faire à propos de la première édition.

M. Tropfke fait plusieurs remarques neuves relatives à Simon Stevin. Il le connaît bien, l'a lu avec attention et relève chez lui plus d'une particularité curieuse.

Celle-ci, par exemple: c'est probablement Stevin qui, le premier, employa une même lettre accentuée de diverses manières, pour désigner les solutions multiples d'un problème. Ainsi, soit à construire un triangle dont on connaît l'angle A et les côtés AC et BC; Stevin désigne les deux positions que peut occuper le sommet B sur la base AB, en surmontant B, la première fois d'un point, et la seconde d'un tréma.

Stevin est aussi le premier qui remarqua, du moins explicitement, qu'un quadrilatère n'est pas nécessairement convexe. Outre le quadrangle ordinaire, dit-il, cette figure peut encore affecter deux autres formes, qu'il nomme respectivement quadrangle d'angle revers (c'est-à-dire, supérieur à 180°) et quadrangle croisé. Il s'en dégagera plus tard la notion du quadrilatère complet. M. Tropfke dit que l'idée de Stevin fut émise pour la première fois, dès 1608, dans les Hypomnemata mathematica, mais qu'elle ne fu tpubliée en français que dans l'édition des Euvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges, par Albert Girard, qui parut chez les Elzevier de Leyde, en 1634. Il y a là une inexactitude due à la rareté des premières éditions de Stevin, presque introuvables, on le sait, hors de la Belgique et des Pays-Bas. Les trois « quadrangles » forment l'objet de la seconde définition de l'Application des poligones plats ; application qui est elle-même un appendice au Traité des Triangles plats, ou Deuxième Livre de la Cosmographie. Or, en 1608, Stevin donna sa Cosmographie simultanément en trois langues dans les Wisconstige Gedachtenissen; dans les Hypomnemata mathematica et dans les Mémoires mathématiques. Les Hypomnemata mathematica sont la traduction des Wisconstige Gedachtenissen par Willebrord Snellius, et les Mémoires mathématiques celle de Jean Tuning. Cette dernière

édition est rarissime, mais la Bibliothèque Royale de Belgique la possède. Les définitions des trois quadrangles s'y trouvent au tome I, p. 166. Il n'y a, bien entendu, dans mes rectifications, qu'une question de bibliographie et de date; car dans son édition de 1634 Albert Girard n'a pas donné une nouvelle traduction de la Cosmographie; suivant son habitude, il s'est contenté de rééditer la version de Tuning. Mais en histoire les dates ont leur importance.

Ma seconde observation a pour but de redresser une erreur assez répandue chez nous et dans laquelle M. Tropfke n'a garde de tomber.

Dans une histoire des mathématiques élémentaires, un chapitre est difficile à délimiter de manière à contenter tout le monde : c'est celui de la géométrie du triangle. On sait quelle extension elle a prise de nos jours. Avec raison, je crois, M. Tropfke a exclu de son programme presque toute la géométrie récente du triangle. Pour la connaître, il vaut mieux recourir à des traités spéciaux, qui d'ailleurs ne manquent pas. Un aperçu, même sommaire, du développement de la géométrie du triangle eût démesurément grossi le présent volume. Dans le peu qu'il nous en dit, et sans qu'il s'en explique formellement, M. Tropfke semble faire remonter la nouvelle géométrie du triangle au mémoire d'Euler, intitulé: Solutio Facilis problematum quorumdam geometricorum difficillimorum, qui parut dans les Novi COMMENTARII ACADEMIAE SCIENTIARUM IMPERIALIS PETROPOLITANAE PRO ANNO M DCC LXV (T. XI, pp. 103-123). Je félicite M. Tropfke de n'en pas parler sans l'avoir lu, car je crois la chose assez rare. Ce mémoire, d'ordinaire cité de seconde main, l'est trop souvent à faux.

Euler y débute par ces mots (p. 103): « In omni triangulo quatuor potissimum dantur puncta, quae in Geometria considerari solent. Dans tout triangle on remarque d'ordinaire quatre points principaux ». Ces points remarquables sont, d'après Euler, le point de concours des hauteurs, celui des médianes, celui des médiatrices et celui des bissectrices. Le problème très difficile qu'Euler se pose est le suivant: Étant donnés de position trois des quatre points remarquables, construire le triangle. La solution est algébrique et d'ailleurs loin d'être simple. C'est au cours des calculs

circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont trois points en ligne droite et que la distance du centre du cercle circonscrit au centre de gravité est double de celle de ce dernier point à l'orthocentre. Le nom de Droite d'Euler est donc très bien donné à la droite qui passe par ces trois points.

Il en est tout différemment du nom de Cercle d'Euler appliqué au Cercle des neuf points, comme si, dans son mémoire, Euler avait trouvé les principales propriétés de ce cercle. Il ne s'en occupe pas. Mais l'erreur est si courante, en France et en Belgique, qu'il me paraît bon de la signaler. Voir, par exemple, Exercices de Géométrie, par F. J. Tours, Mame, 1896, p. 10; Notes de Géométrie récente sur la Droite et le Cercle d'Euler, par M. J. Gob, publiées dans les MÉMOIRES DE LA SOCIÉTÉ ROYALE DES SCIENCES DE LIÉGE (2a série, tome XVI), et donneés aussi en supplément dans le tome IX de MATHESIS. Les Anglais donnent au pseudo-cercle d'Euler le nom de Cercle des neuf points; les Allemands, celui de Cercle de Feuerbach. Il conviendrait de s'en tenir à ces dénominations, comme le font d'ailleurs les bonnes bibliographies de la Géométrie récente du Triangle.

H. BOSMANS.

Louvain. - Imprimerie F. Ceutǝrick, rue Vital Decoster, 60.

contient une démonstration de la méthode de Fermat, par Fermat lui-même. Je l'ai exposée en notations modernes dans ma note de 1921.

La lettre à Brûlart était accompagnée d'un billet d'envoi à Mersenne, dans lequel se lisait cette recommandation (1) : « Vous aurez maintenant la réponse que je fais à M. de Brúlart jointe à celle-ci. Je l'ai écrite à la hâte, comme vous le verrez, et c'est la raison qui m'oblige à vous prier qu'il n'en soit pas fait de copics et qu'elle ne sorte pas d'entre les mains de M. de Brûlart. »

La démonstration de Fermat est effectivement écrite d'un style très négligé et, à une première lecture, on se contente de la raison donnée à Mersenne. Mais, le Toulousain doit en avoir eu une autre plus sérieuse pour ne pas désirer que sa lettre circulât entre savants. En effet, malgré le désir exprimé au Minime, Carcavi possédait une copie de la pièce. A cela rien d'étonnant, puisqu'il était le dépositaire de tous les écrits de Fermat. Or, celui-ci le laissait juge, nous l'avons vu, de ce qu'il convenait d'en communiquer au public. Il devait lui donner un jour de pleins pouvoirs pour reviser la forme de ses mémoires, et très probablement lui avait-il, dès lors permis de les retcucher. D'où il semble assez difficile de croire que ce fut pour une simple négligence de rédaction que Fermat voulait ne pas voir circuler sa lettre. Le fond même de la démonstration devait être en jeu. Or, en y regardant de près, peut-être est-il possible de deviner quels scrupules arrêtaient l'auteur.

Au point de vue de la rigueur, un détail de la démonstration laissait à désirer. Voici à peu près en quels termes je le résumais dans ma note de 1921.

Si une fonction f (x) a un maximum, ou un minimum, en un point x = a, il faut qu'en donnant à x un accroissement

e dans le voisinage immédiat de ce point, f (x) soit supérieur, ou inférieur, suivant le cas, à la fois à f (x ± e), ce qui exige que l'on puisse poser, bien entendu dans le voi sinage immédiat du point,

f(x + e) = f (x — e).

(1) Fermat, t. II, p. 253.

e).

Or, pour que cette égalité soit rigoureuse, il faut que le maximum ou le minimum se trouve à l'extrémité d'un diamètre parallèle à l'axe des y, ce que Fermat ne dit pas. Dans les autres cas, pour parler comme le Toulousain le fait après Diophante, il n'y a qu'une simple adégalité, en d'autres termes, une égalité approchée entre f (x + e) et f (x Voilà ce dont Fermat ne pouvait manquer de s'apercevoir. J'incline donc à penser, que sa démonstration ne le satisfaisait qu'à moitié. S'il la donne néanmoins à Brûlart, c'est que la plupart des mathématiciens de l'époque, à l'exemple de Cavalieri, se contentaient de preuves de ce genre, du moins en Analyse infinitésimale. Avec les moyens de Fermat, une démonstration rigoureuse eût été beaucoup plus longue. On peut s'en convaincre par celle que Mansion a essayée jadis avec un plein succès, dans MATHESIS (1). Mais le géomètre de Toulouse n'avait probablement pas le loisir de mettre sur le papier une preuve exigeant des développements aussi étendus.

III

La Terre étant supposée douée seulement d'un mouvement diurne uniforme, sans mouvement autour du soleil, on peut se proposer de rechercher la trajectoire décrite dans l'espace par un point matériel pesant animé d'un mouvement uniformément accéléré, qui partant de la surface se dirigerait vers le centre le long d'un rayon terrestre. En règle générale, le rayon mobile décrit un cône. Mais, dans le cas particulier où le point considéré partirait de l'équateur, la trajectoire serait une courbe plane. C'est sous cette forme simplifiée que le problème intéressa Galilée, puis Fermat (2).

Soit dans le plan de l'équateur un système de coordonnées polaires. Plaçons le pôle au centre, et faisons passer l'axe polaire par le point initial du mouvement du mobile. L'angle polaire w est évidemment proportionnel au temps de la

(1) Méthode dite de Fermat pour la recherche des Maxima et des Minima; t. II, Gand, Hoste, 1882; pp. 193-202.

(2) Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, réédité par A. Favaro, dans Le Opere di Galileo Galilei. Edizione Nazionale. T. VII, Firenze, Barbèra, 1897, pp. 191-193.