DEMONSTRATION,

Puisque EF est parallèle à BC, et EO, FT à LD, il s'en suit que EFTO est un parallelogramme, dont EL est égal à LF. ainsi que OD à DT. Par conséquent, le centre de gravité du quadrilatère EFTO est sur DL, d'après la première proposition de ce livre.

« Pour la même raison le centre de gravité du parallelogramme GHSP est sur LM, et celui de IKRQ sur MN. Et par conséquent, le centre de gravité de la figure IKRHSFTOEPGQ formée par les trois susdits quadrilatères sera sur la ligne ND ou AD.

Or, comme on a inscrit ici trois quadrilatères, ainsi pourrait-on inscrire indéfiniment de pareils quadrilatères, et le centre de gravité des figures inscrites serait toujours sur AD.

<< Mais, plus il y a de quadrilatères, moins la figure inscrite formée par les quadrilatères différera du triangle ABC. Car, si on menait des parallèles à BC par les milieux de AN, NM, ML, et LD, la nouvelle figure formée (en achevant les parallelogrammes) ne différerait du triangle que précisément de la moitié de la différence de la figure précédente (et du triangle). Nous pouvons donc inscrire dans le triangle une figure de ce genre, qui s'en approchera indéfiniment, de manière que la différence soit moindre qu'une surface donnée, si petite soit-elle minder dan eenich ghegheren plat hoe cleen het sy.

"D'où il suit, qu'en prenant AD pour diamètre de gravité, la pesanteur de la partie ADC, différera moins de la pesanteur de la partie ADB, qu'aucune surface qu'on saurait donner, si petite soit-elle : dan eenich plat dat men soude connen gheven hoe cleen het sy.

"D'où, j'argumente ainsi :

« A. Lorsque deux pesanteurs different, on peut trouver une pesanteur moindre que leur difference.

«0. Aux pesanteurs ADC, ADB, on ne peut trouver de pesanteur moindre que leur différence.

« O. Les pesanteurs ADC, ADB ne different donc pas.

« Donc, AD sera diamètre de gravité, et par conséquent, le centre de gravité du triangle ABC y sera.

« CONCLUSION. Done, dans tout triangle, le centre de gravité est sur la ligue menée d'un angle au milieu du côté oppose. Ce que nous devions démontrer. "

Après avoir achevé la démonstration, STEVIN "argumente "; et les lettres A, 0, 0, qu'il intercale dans cette argumentation montrent son souci de bien nous faire sentir, que malgré la nouveauté de la méthode employée, la preuve est rigoureuse. Les trois lettres rappellent, en effet, que le syllogisme est en baroco, l'un des mots mnémoniques alors usités dans les écoles, pour graver dans la mémoire des élèves quelles étaient les formes correctes du syllogisme (1).

On remarquera du premier coup d'œil la différence radicale qu'il y a entre l'esprit de la démonstration d'ARCHIMEDE et celui de la démonstration de STEVIN. STEVIN prouve l'équivalence du poids des triangles ADB, ADC par un raisonnement direct. vrai passage à la limite; et non plus par une réduction indirecte à l'absurde, comme le Syracusain. Chez l'un comme chez l'autre, le procédé est systématique. Dans mon premier mémoire, j'en ai emprunté à STEVIN d'autres exemples non moins intéressants, je n'y reviens pas.

Chez CAVALIERI, plus de quantités qui tendent vers zéro. C'est dans une lettre à TORRICELLI, datée de Bologne et du 29 octobre 1642, qu'il nous démontre à sa manière le même théorème 2). Ne nous étonnons pas de quelques négligences de style, dont il est coutumier. Mais, pour suivre aisément le raisonnement, je prie le lecteur de dessiner le triangle ABD, ainsi que la médiane AC. CAVALIERI dessine encore les médianes BE, DG, qui ne nous serviront pas (3), puis, il remplit la figure d'indivisibles, c'est-à-dire, de parallèles à BD équidistantes entre elles. On peut sans inconvénient ne pas les tracer sur le dessin.

Il me semble, dit le Milanais, que les indivisibles donnent une grande facilité pour trouver le centre de gravité du triangle. En effet, le centre de chacune des lignes droites (indivisibles) proposées est situé en son milieu. On prouvera donc aisément que le centre de gravité du triangle ABD est sur la droite AC, qui divise BD en

(1) Dans ces mots mnemoniques, A, désigne la proposition générale affirmative; E, la proposition générale négative; 1, la proposition particulière affirmative; 0, la proposition particulière négative.

(2) Opere di EVANGELISTA TORRICELLI, edite da GINO LORIA ed GIUSEPPE VASSURA; t. III, Faenza. G. Montanari, 1919, p. 83.

(3) Elles ont pour but de permettre à CAVALIERI de prouver que le centre de gravité du triangle est au point de concours des médianes, par un raisonnement qui se devine. qu'on trouve déjà chez ARCHIMEDE et chez STEVIN.

deux parties égales au point C. Car le centre de toutes les parallèles à BD et par conséquent le centre du triangle ABD, se trouve sur AC.

C'est très court: cela fait soupçonner la vérité, comme l'eut dit ARCHIMEDE (1); cela ne la démontre pas. TACQUET (2) et PASCAL (3) le diront plus tard, à leur tour, à propos de démonstrations analogues, la méthode de CAVALIERI ne devient rigoureuse qu'en donnant à ses indivisibles un sens conventionnel, et en substituant aux indivisibles des parallelogrammes infinitésimaux (4).

Mais, y apporter ce perfectionnement essentiel, c'est en revenir purement et simplement à la méthode de STEVIN! On regarde parfois, et non sans raison, CAVALIERI Comme le père de l'analyse intinitésimale moderne. STEVIN fut à tout le moins un ancêtre, qui sut joindre la simplicité à la rigueur!

si les démonstrations du Water wicht n'ont pas laissé sur la science une trace aussi apparente que celles de la Weeghconst, elles nous paraissent cependant aujourd'hui encore plus curieuses, si possible. STEVIN leur a donné deux formes, qu'il nomme respectivement « démonstration mathématique " et « démonstration par nombres », il les applique toutes deux au théorème suivant (5):

(1) Au commencement de la Prop. II de son traité de La Méthode relative aux théorèmes mécaniques. ED. HEIBERG, t. II, pp. 438-439; Trad. VER EECKE, p. 484.

(2) Dans.:ta Lettre de DETTONVILLE à CARCAVY, qui parut pour la première fois à Paris, en 1658. Les Grands Ecrivains de la France. Euvres de BLAISE PASCAL, publices par LEON BRUNSCHVICG, PIERRE BOUTROUX et FELIX GAZIER; t. VIII, Paris, Hachette, 1914, pp. 352-355. DETTONVILLE est. on le sait, un pseudonyme de PASCAL:

(3) ANDREAE TACQUET e Societate Jesu Cylindricorum et Annularium Libri IV. Antverpiae, Apud Jacobum Meursium, MDCLI. Scolie de la Prop. XII du Liv. 1, pp. 23-24.

(4) Comme je l'ai fait remarquer, dans mon mémoire précédent, CAVALIERI me semble avoir très bien vu, que l'on pouvait aussi rendre sa méthode rigoureuse en joignant aux indivisibles la notion de fluxion; mais cette conception, d'ailleurs alors toute neuve, semble avoir échappé à la perspicacité de TACQUET et de PASCAL.

(5) Wateruicht, pp. 23-26; Wis. Ged. t. IV, pp. 134-137; Hypomnemata, t. IV. pp. 121-123; Euvres, t. II, pp. 488-489.

THEORÈME IX. PROPOSITION XI. Fig. 3).

Sur un fond conrenant, traduit ALBERT GIRARD, duquel le plus haut poinct est à fleur d'eau repose un poids égal à la demi

colonne d'eau de laquelle la base est pareille au dit fond, et sa hauteur égale à la perpendicule comprise entre les niveaux qui passent par le plus haut et le plus bas poinct dudit fond ».

Un fond conrenant, geschickt bodem, dit le texte original: fundum regulare, traduit WILLEBRORD SNELLIUS; littéralement, une paroi régulière. Que veut précisément signifier par là STEVIN? Il serait assez étranger à notre sujet de le discuter. La chose nous importe d'ailleurs assez peu. Qu'il nous suffisse de dire, que dans la figure, il suppose la paroi rectangulaire, verticale, et, ayant deux de ses côtés parallèles à l'horizon.

"DONNÉE. Soit AB un vase plein d'eau, dont la paroi ACDE soit un parallelogramme (plus exactement, un rectangle) non parallèle, mais perpendiculaire à l'horizon, dont le plus haut côté AC est à fleur d'eau ACFG. Et soit AE la perpendiculaire abaissée du plus haut point de la paroi, jusqu'au plan parallèle à l'horizon passant par le point le plus bas de la paroi, c'est-à-dire, par ED; et que AG soit quelconque.

« Menons la ligne DB parallèle à l'horizon; marquons y le point H, tellement que DH soit égal à DC. Tirons aussi la ligne CH, et désignons par ACHDE la moitié du prisme, qui aurait pour base ACDE et pour hauteur DH égal à AE.

« DEMANDE. Nous devons démontrer que le poids de l'eau, qui repose contre la paroi ACDE est équivalent au susdit demi-prisme ACHDE. C'est-à-dire pour déclarer le tout plus clairement, que si I était un contre-poids, équipondérant à ACHDE, agissant sur une corde KL, parallèle à DH, et K le centre de gravité de l'effort de la poussée contre la paroi, le poids I équilibrerait exactement la poussée de l'eau, et maintiendrait la paroi ACDE en place, supposé qu'elle fut mobile."

STEVIN explique, ensuite, sa demande d'une seconde manière superflue pour l'intelligence du raisonnement. La figure rend l'explication très claire.

* CONSTRUCTION. Soit divisé le côté AE en quatre parties égales aux points R, S, T et par là menées RV, SX, TY parallèles à AC. Soit aussi menées VZ, Xa, Yẞ parallèles à DH, coupant CH en 7, 6, E, — et tellement que chacune des lignes 7Z, da, 3, soit égale à Vy. Soit ensuite menée par le point 7, la ligne Zn, parallèle à CD, coupant Xa en 0, et Yẞ en; de même la ligne Zz, par è, coupant Yẞ en ; de même la ligne ap, par ; finalement ẞH.

DEMONSTRATION.

« Contre la paroi ACVR repose plus de poids que rien. Car. si la paroi était toute à fleur d'eau, rien ne reposerait contre elle; mais, elle descend plus bas, done il repose plus que rien contre elle.

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D'autre part, je dis qu'il repose moins contre elle que le corps d'eau ACVR. Car, si la paroi était menée par RV parallèlement à l'horizon, alors le dit corps ACVR y reposerait, d'après la 10 proposition; mais elle vient plus haut, et par conséquent, il repose moins contre elle. "

La 10 proposition à laquelle STEVIN fait allusion, est le célèbre théorème: La poussée de l'eau, qui repose sur une surface plane parallèle à l'horizon, est égale au poids d'un cylindre d'eau ayant pour base la surface horizontale, et pour hauteur, la hauteur du liquide.

STEVIN Continue :

Je dis de même, que contre la paroi RVXS repose un poids plus fort que celui du corps ACyVR. Car, si la paroi était menée par RV parallèlement à l'horizon, le poids de ce corps y reposerait, d'après la 10 proposition; mais, la paroi descend plus bas; il repose donc plus contre elle. Or, le corps RV70XS est égal au corps ACVR. II repose donc contre la paroi RVXS un poids plus fort que celui du corps RV-0XS.