D'autre part, je dis qu'il repose moins contre elle que le corps ACOXS. Car, si lá paroi était menée parallèlement à l'horizon, par XS, alors le corps AC0XS y reposerait, d'après la 10 proposition. Mais, elle vient plus haut; il repose donc moins contre elle. Mais, le corps RVZ XS est égal au corps AC0XS. Par conséquent, il repose moins contre la paroi RVXS que le corps RVZXS ». SIEVIN reprend encore deux fois le même raisonnement, sans faire grâce au lecteur du moindre intermédiaire. Puis, il résume le raisonnement, résumé qu'ALBERT GIRARD écrit en tableau comme suit: il s'en suit, que contre le fond (la paroi) entier, ACDE, reposera plus que les corps susdits ensemble, qui font le corps inscrit RV7002μDE. dans la demi-colonne (c'est-à-dire le demi-prisme) ACHDE; et que contre le dit fond (la paroi) ACDE entier, reposeront moins que les corps circonscrits ensemble, qui font le corps ACzyZz:ßHDE, lequel est circonscrit à la demi-colonne (au demi-prisme) ACHDE. » Je reprends la traduction littérale du texte de STEVIN. Mais, que la paroi ACDE, qui a été divisée ci-dessus en 4 parties égales, le soit de même en 8 parties égales, il est clair que le corps inscrit dans le demi-prisme ACHDE, et le corps qui lui est circonscrit, ne différeraient plus alors de ce demi prisme, que de la moitié de la différence, dont ils different maintenant. Il est donc manifeste, par une pareille division indéfinie de la paroi, qu'on ne saurait donner de poids, si petit soit-il, sans qu'on ne puisse montrer, s'il y avait que le poids reposant contre la paroi ACDE, diffère encore moins du demi-prisme ACHDE. une différence "D'où, j'argumente ainsi. "A. Tout poids qui diffère du poids reposant contre la paroi ACDE de moins qu'on ne saurait donner, est égal au poids reposant contre la paroi ACDE. "I. Le poids du demi-prisme ACHDE est un poids différent du poids qui repose contre la paroi ACDE de moins qu'on saurait donner. "I. Donc, le poids du demi-prisme ACHDE est égal au poids qui repose contre la paroi ACDE. »(1) Voilà bien incontestablement un passage à la limite. Mais ce qui en fait le vrai intérêt, c'est la date de 1586 où STEVIN l'emploie. CANTOR (2) avait déjà appelé l'attention sur l'ancienneté de la date à laquelle STEVIN publia sa démonstration. Le professeur d'Heidelberg ne connaissait, cependant, cette démonstration que par les Hypomnemata Mathematica et ne la croyait que de 1608, c'est-à-dire, de 22 ans postérieure à sa date réelle. STEVIN avait nommé la démonstration que nous venons de donner : 1er Exemple ». Il est sans intérêt de nous arrêter au 2e et au 3. Mais, il applique sa démonstration par nombres au 4 Exemple. La voici : 4 EXEMPLE (3). « Nous avons donné ci-dessus trois exemples par démonstrations mathématiques, qui montrent, il est vrai, mieux que l'autre, le fondement de la chose; vu cependant que la démonstration par nombres, n'est pas à dédaigner pour une plus parfaite perception de l'ensemble, nous traiterons ce 4o exemple par les nombres. "DONNÉE. Soit AB un vase plein d'eau dont nous supposerons la paroi (ACDE) carrée et perpendiculaire sur l'horizon. Supposons que le côté supérieur ait un pied et soit à hauteur du niveau supérieur de l'eau ACFG; que AE ait aussi un pied, mais AG peut être aussi long qu'on voudra. » La paroi étant cette fois carrée, au lieu d'être simplement rectangulaire, STEVIN donne ici une nouvelle figure. Je conserve celle de la (1) Par les lettres A, I, I, STEVIN fait observer que son syllogisme est en Dari, forme correcte. (2) Vorlesungen, 2° éd. t. II, p. 578. (3) Waterwicht, pp. 29-31; Wis. Ged. t. IV. pp. 139-141; Hypomnemata, t. IV, pp. 125-129; Œuvres, t. II, pp. 490-491. STEVIN, dans le texte original flamand, est plus clair, et surtout plus précis, qu'ALBert Girard, dans la traduction française des OEuvres. démonstration précédente, mais en changeant en conséquence les lettres dans le raisonnement. DEMANDE. Nous devons démontrer par nombres, que le poids de l'eau reposant contre la paroi ACDE, vaut la moitié du prisme d'eau, ayant pour base et pour hauteur la perpendiculaire AE. Mais ce prisme est un cube d'un pied. Nous devons donc démontrer qu'il repose contre la paroi ACDE le poids d'un demi-pied (cube) d'eau. "Construction. Divisons la paroi par trois lignes parallèles à AC, par exemple, RV, SX, TY; de telle manière que AR soit égal à RS, à ST, et à TE. DEMONSTRATION. Il est clair que contre la paroi AV repose plus que 0 (plus que rien); car, si cette paroi était menée par AC parallèlement à l'horizon, il reposerait 0 sur la paroi; mais elle descend plus bas; il repose donc contre elle plus que 0. 1 « Je dis, d'autre part, qu'il repose moins contre elle que de 16 pied. Car si la paroi était menée par RV parallèlement à l'horizon, 1 de pied sur elle. Mais, elle va plus haut. Il repose il reposerait 16 1 2 Pour une raison semblable, il est évident que contre la paroi RX, 2 repose plus de 16 et moins de ; contre la paroi SY, plus de 16 "Ajoutez maintenant les quatre poids qui sont plus légers que ceux qui pèsent contre les diverses admettant que 0 soit un poids parois, c'est-à-dire, 0, 1 2 3 16 16 16 6 ; ils font ensemble 16 Ajoutez de même les quatre poids, qui sont plus lourds que ceux qui pèsent contre les diverses parois, c'est-à-dire, Il est donc évident, que contre la paroi entière ACDE, il repose 6 10 plus de de pied, et moins de Entre ces valeurs se trouve pied, que nous devons démontrer reposer contre la paroi ACDE. "Or, comme la paroi a été ci-dessus divisée en quatre parties égales par trois lignes, ainsi pouvons nous la diviser en autant de parties que nous voulons, par exemple, en 10. Pour les raisons précédentes, les dix poids qui sont plus légers que ceux que pèsent respectivement contre les parois sont Et de même les dix poids qui sont plus lourds que ceux qui pèsent respectivement contre chacune des parois sont 1 9 3 4 5 6 7 8 9 10 45 "Il est donc évident que contre la paroi ACDE il repose plus de 100 55 1 de pied, et moins de Entre ces deux valeurs se trouve pied, 100 2 que nous devons démontrer reposer contre la paroi ACDE. Mais. ces deux limites sont plus rapprochées d'un demi-pied que les deux de que 2 10 16 D'où l'on voit que plus nous divisons la paroi ACDE en un nombre de plus en plus grand de parties égales, plus nous nous rapprochons constamment d'un demi-pied. «Ceci étant ainsi compris, t' welck soo verstaen synde (c'est-à-dire : ceci posé) supposons, si c'était possible, qu'il repose contre la paroi ACDE 1 de pied, en plus ou en moins d'un demi-pied; et cherchons à 1000 contrôler l'exactitude de cette hypothèse. Pour cela divisons, par la pensée, la paroi en 1000 parties égales comme ci-dessus. Alors, pour les raisons précédentes, les mille poids qui reposent et ainsi En notations modernes, cette méthode d'addition abrégée consiste à remarquer, que si on pose De même, continue STEVIN, les mille poids plus lourds que ceux qui pèsent contre les parois respectives sont 3 1 000 000 2 1 000 000 1 000 000 1 000 1 000 000 Ils et ainsi de suite, jusqu'au dernier, qui sera "Et ainsi on démontrera la même chose, pour toute fraction donnée, si petite soit-elle. Il est donc évident, que la différence, s'il pouvait y en avoir une, entre l'eau qui repose contre la paroi ACDE est inférieure à celle qui a été supposée. - D'où, j'argumente ainsi : "A. Entre un poids quelconque et un demi-pied d'eau, s'ils sont différents, on peut trouver un poids moindre que leur différence. 0. Or, entre le poids qui repose contre la paroi ACDE, et I pied d'eau, on ne peut donner aucun poids moindre que leur différence. |