LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 3 DEGRÉ

D'APRÈS SIMON STEVIN, (')

par M. H. BOSMANS, S.-J.

Dans un article antérieur publié ici même (1), j'ai fait connaître la belle méthode imaginée par STEVIN pour résoudre, par approximations successives, les équations numériques d'un degré quelconque, notamment celles du 3 degré. Cette méthode fait l'objet de l'Appendice algebraique du Brugeois, publié à Leyde en 1594. Elle constitue le plus grand progrès apporté par notre compatriote à la théorie des équations. Je n'y reviendrai pas.

Mais, l'auteur de l'Appendice nous apprend lui-même, que, lorsqu'en 1585, il publia son Arithmétique, l'idée de son ingénieux procédé ne lui était pas encore venue. Cette Arithmetique renferme néanmoins la théorie des équations des 3 et 4° degrés la plus parfaite qui ait été publiée avant les travaux de VIÈTE. Ceux-ci vinrent, on le sait, transformer les vieilles règles de solution. Je me propose de résumer aujourd'hui ce que STEVIN nous a dit de l'équation du 3o degré.

Pour bien apprécier le Géomètre brugeois, il est souvent bon de l'écouter lui-même. Peut-être ne sera-t-il donc pas hors de propos de rappeler au lecteur la signification de ses notations, et le sens de l'une ou l'autre de ses expressions.

Chez STEVIN, on le sait, l'inconnue se représente par son exposant écrit au centre d'une petite circonférence. Je remplacerai celle-ci par une double parenthèse, comme je l'ai fait antérieurement. Mais, il faut signaler quelques particularités nouvelles. Quand l'inconnue a pour coefficient l'unité, celle-ci est mise explicitement en évidence. Si le petit cercle n'est précédé d'aucun chiffre, le coefficient est supposé quelconque. Enfin, le terme tout connu est souvent multiplié par l'inconnue affectée de l'exposant 0. D'après cela, l'expression que nous rencontrons plus loin

mais, 1(1)x.

(2) (1) (0)= na2 + px + q,

Quand la proposée renferme un terine du second degré et que la transformée en est débarrassée, STEVIN a parfois une notation très ingé

(1) 1922-275 à 281. Remarques sur l'Arithmetique de SIMON STEVIN.

nieuse pour distinguer les inconnues des deux équations. Il les affecte de véritables indices. Mais il est quelque peu embarrassé pour faire comprendre une idée aussi neuve à ses lecteurs. Il croit pour cela devoir se servir d'une droite. Supposons, dit-il, qu'un des nombres algébraiques quelconques » (l'inconnue) soit la droite AB. Divisons la en deux parties au point C. Supposons de plus que BC soit un nombre donné, 2 par exemple, et AC le nouveau « nombre algébraique quelconque », nous aurons

1 (1) AB égale 1 (1) AC + BC égale 1 (1) AC + 2,

XAB

ACBC = PAC + 2.

Nous l'entendrons tantôt nous donner lui-même cette explication avec plus de détails.

Soit a la valeur de l'inconnue. Il est indispensable de rappeler que STEVIN parle souvent comme si l'équation était écrite sous la forme d'une proportion

mais, bien entendu, avec la condition implicite que dans les deux rapports l'antécédent est égal au conséquent. D'après cela, les quatre expressions x3, пx2 + px +q, x et a prennent respectivement les noms des premier, second, troisième et quatrième termes proportionnels.

Dans l'emploi des formules dites de CARDAN, on rencontre des expres

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sions de la forme √ a ± √б. STEVIN les écrit : √ (3) bino a ± √ b en mettant l'indice de la racine dans un petit cercle après le signe V du radical. L'abréviation bino, toujours en italique, indique que le premier radical doit porter sur deux termes, car STEVIN ne fait jamais suivre du radical par une barre horizontale couvrant les termes que le signe affecte.

Ces préambules achevés, abordons, la théorie de l'équation du 3o degré. Elle se compose d'un théorème et de trois problèmes numérotés 69-71 (1).

(1) Pour ne pas multiplier des références sans grande utilité je dirai ici, une fois pour toutes, où se trouve la théorie de l'équation du 3 degré dans les différentes éditions de l'Arithmétique.

L'Arithmétique de SIMON STEVIN de Bruges... A Leyde. De l'Imprimerie de Christophle Plantin. M. D. LXXXV. Pp. 302-348.

L'Arithmétique de SIMON STEVIN de Bruges, reveue, corrigée et augmentée de plusieurs traictez et annotations par ALBERT GIRARD Samielois, Mathematicien. A Leyde de l'Imprimerie des Elzeviers. M.DC.XXV. Pp. 281-324.